Measuring the distance to the moon (lunar ranging) is routinely done by firing short-pulse lasers and measuring the time it takes for the pulses to reflect back from the moon. A pulse is fired from Earth. To send the pulse out, the pulse is expanded so that it fills the aperture of a 6.00-in-diameter telescope. Assuming the only thing spreading the beam out is diffraction and that the light wavelength is 500 nm , how large will the beam be when it reaches the moon,
away?
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dá.
- Pede: “Quão grande ficará o feixe quando atingir a Lua?” — ou seja, o diâmetro aproximado do ponto iluminado na superfície lunar, assumindo que a única causa de espalhamento é a difração.
- Dados fornecidos:
- Diâmetro da abertura do telescópio:
. - Comprimento de onda da luz:
. - Distância até a Lua:
.
- Diâmetro da abertura do telescópio:
Observação prática: para tratar difração por uma abertura circular vamos usar a fórmula do disco de Airy (primeiro mínimo), que dá a largura característica do feixe. Não avançamos na conta ainda — só organizamos os dados.
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando uma onda passa por uma abertura circular de diâmetro
, a difração faz com que a intensidade não saia em um feixe perfeitamente paralelo: aparece um padrão central (o disco de Airy) cercado por anéis. A posição do primeiro mínimo angular (ou seja, o “raio” angular da mancha central) é bem aproximada por
onde:
-
é o ângulo (em radianos) entre o eixo óptico e o primeiro mínimo (ou seja, é a semi‑abertura angular do feixe central), -
é o comprimento de onda da luz, -
é o diâmetro da abertura.
Se a distância até a superfície onde o feixe incide é
e
é pequeno (situação usual aqui), o raio da mancha é aproximadamente
, e o diâmetro da mancha é
Comentário intuitivo: a difração limita o quão colimado um feixe pode ficar; quanto menor a abertura
comparada à
, maior a divergência. Aqui
é grande comparado a
, mas a distância
é enorme, então a mancha pode ficar grande — vamos calcular.
Passo 3
Converter todas as grandezas para unidades SI (metros) e escrever as quantidades em forma apropriada.
- Converter o diâmetro da abertura de polegadas para metros:
- Converter o comprimento de onda para metros:
- Converter a distância para metros:
Passo 4
Aplicar a fórmula do diâmetro da mancha por difração e montar a expressão numérica.
A fórmula usada é
Substituindo os valores (todos em SI):
Passo 5
Fazer as contas passo a passo (muito mastigado).
Primeiro calcule
:
Logo
Agora multiplica por
:
Finalmente divide por
:
Fazendo a divisão:
Convertendo para quilômetros:
Passo 6
Interpretação final (intuitiva e motivadora).
O resultado indica que, mesmo com um telescópio relativamente grande (diâmetro de
), a difração faz com que o pulso laser se espalhe até formar uma mancha com cerca de
de diâmetro na Lua, devido à enorme distância. Isso explica por que só uma fração ínfima da energia volta para a Terra — a maioria da luz não retorna diretamente à pequena área do telescópio receptor. Mas calma: para medir a distância isso ainda é suficiente porque detectores sensíveis e retrorefletores na Lua permitem captar alguns fótons.