Measuring the distance to the moon (lunar ranging) is routinely done by firing short-pulse lasers and measuring the time it takes for the pulses to reflect back from the moon. A pulse is fired from Earth. To send the pulse out, the pulse is expanded so that it fills the aperture of a 6.00-in-diameter telescope. Assuming the only thing spreading the beam out is diffraction and that the light wavelength is 500 nm , how large will the beam be when it reaches the moon, 3.82 \times 10^{5} \mathrm{~km} away? { }^{5 S M}

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dá.
  • Pede: “Quão grande ficará o feixe quando atingir a Lua?” — ou seja, o diâmetro aproximado do ponto iluminado na superfície lunar, assumindo que a única causa de espalhamento é a difração.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro da abertura do telescópio: D = 6,00\\ \text{in}.
    • Comprimento de onda da luz: \lambda = 500\\ \text{nm}.
    • Distância até a Lua: L = 3,82\times10^{5}\\ \text{km}.
Observação prática: para tratar difração por uma abertura circular vamos usar a fórmula do disco de Airy (primeiro mínimo), que dá a largura característica do feixe. Não avançamos na conta ainda — só organizamos os dados.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando uma onda passa por uma abertura circular de diâmetro D, a difração faz com que a intensidade não saia em um feixe perfeitamente paralelo: aparece um padrão central (o disco de Airy) cercado por anéis. A posição do primeiro mínimo angular (ou seja, o “raio” angular da mancha central) é bem aproximada por
\theta = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D},
onde:
  • \theta é o ângulo (em radianos) entre o eixo óptico e o primeiro mínimo (ou seja, é a semi‑abertura angular do feixe central),
  • \lambda é o comprimento de onda da luz,
  • D é o diâmetro da abertura.
Se a distância até a superfície onde o feixe incide é L e \theta é pequeno (situação usual aqui), o raio da mancha é aproximadamente r \approx L\theta, e o diâmetro da mancha é
\text{diâmetro} \approx 2r \approx 2\theta L = 2\cdot 1{,}22\,\frac{\lambda}{D}\,L = 2{,}44\,\frac{\lambda L}{D}.â
Comentário intuitivo: a difração limita o quão colimado um feixe pode ficar; quanto menor a abertura D comparada à \lambda, maior a divergência. Aqui D é grande comparado a \lambda, mas a distância L é enorme, então a mancha pode ficar grande — vamos calcular.

Passo 3

Converter todas as grandezas para unidades SI (metros) e escrever as quantidades em forma apropriada.
  • Converter o diâmetro da abertura de polegadas para metros: D = 6{,}00\\ \text{in} = 6{,}00\times2{,}54\\ \text{cm} = 15{,}24\\ \text{cm} = 0{,}1524\\ \text{m}.
  • Converter o comprimento de onda para metros: \lambda = 500\\ \text{nm} = 500\times10^{-9}\\ \text{m} = 5{,}00\times10^{-7}\\ \text{m}.
  • Converter a distância para metros: L = 3{,}82\times10^{5}\\ \text{km} = 3{,}82\times10^{5}\times10^{3}\\ \text{m} = 3{,}82\times10^{8}\\ \text{m}.

Passo 4

Aplicar a fórmula do diâmetro da mancha por difração e montar a expressão numérica.
A fórmula usada é
\text{diâmetro} = 2{,}44\,\frac{\lambda L}{D}.â
Substituindo os valores (todos em SI):
\text{diâmetro} = 2{,}44\cdot\frac{(5{,}00\times10^{-7}\\ \text{m})\,(3{,}82\times10^{8}\\ \text{m})}{0{,}1524\\ \text{m}}.â

Passo 5

Fazer as contas passo a passo (muito mastigado).
Primeiro calcule \lambda L:
\lambda L = (5{,}00\times10^{-7})\cdot(3{,}82\times10^{8})=(5{,}00\cdot3{,}82)\times10^{-7+8}.
5{,}00\cdot3{,}82 = 19{,}10, \qquad 10^{-7+8}=10^{1}.
Logo
\lambda L = 19{,}10\times10^{1} = 191{,}0\\ \text{m}.
Agora multiplica por 2{,}44:
2{,}44\cdot(\lambda L)=2{,}44\cdot191{,}0=466{,}04\\ \text{m}.
Finalmente divide por D:
\text{diâmetro} = \frac{466{,}04}{0{,}1524}\\ \text{m}.â
Fazendo a divisão:
\frac{466{,}04}{0{,}1524}\approx3058{,}0\\ \text{m}.
Convertendo para quilômetros:
3058{,}0\\ \text{m}\approx3{,}058\\ \text{km}\approx3{,}06\\ \text{km} \quad(\text{arredondando a três algarismos significativos}).ê

Passo 6

Interpretação final (intuitiva e motivadora).
O resultado indica que, mesmo com um telescópio relativamente grande (diâmetro de 0{,}1524\\ \text{m}), a difração faz com que o pulso laser se espalhe até formar uma mancha com cerca de 3{,}06\\ \text{km} de diâmetro na Lua, devido à enorme distância. Isso explica por que só uma fração ínfima da energia volta para a Terra — a maioria da luz não retorna diretamente à pequena área do telescópio receptor. Mas calma: para medir a distância isso ainda é suficiente porque detectores sensíveis e retrorefletores na Lua permitem captar alguns fótons.

Resposta

\,3{,}06\\ \text{km}

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