A two-slit Fraunhofer interference-diffraction pattern is observed using light that has a wavelength equal to 700 nm . The slits have widths of 0.010 mm and are separated by 0.20 mm . How many bright fringes will be seen in the central diffraction maximum?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (vou escrever tudo em unidades do SI para evitar confusão):
  • comprimento de onda: \lambda = 700\\ \text{nm} = 700\times10^{-9}\\ \text{m},
  • largura de cada fenda: a = 0{,}010\\ \text{mm} = 0{,}010\times10^{-3}\\ \text{m} = 1{,}0\times10^{-5}\\ \text{m},
  • separação entre centros das fendas: d = 0{,}20\\ \text{mm} = 0{,}20\times10^{-3}\\ \text{m} = 2{,}0\times10^{-4}\\ \text{m}.
O que o enunciado pede:
  • determinar quantas franjas brilhantes de interferência (ou seja, máximos de interferência) aparecem dentro do máximo central do envelope de difração de uma única fenda.

Passo 2

Relembrando a fórmula da difração por uma única fenda (mínimos de difração): as direções dos mínimos são dadas por
a\sin\theta = m'\lambda,
onde m'=\pm1,\pm2,\dots. O primeiro mínimo de difração (que delimita o máximo central) corresponde a m'=\pm1, logo as bordas do máximo central satisfazem
\sin\theta_{\text{bordas}} = \pm\frac{\lambda}{a}.
Isso significa que o máximo central de difração existe para ângulos \theta tais que
-\frac{\lambda}{a} \le \sin\theta \le \frac{\lambda}{a}.
Em outras palavras, o envelope útil (onde aparecem as franjas brilhantes visíveis) está limitado por \sin\theta=\pm\lambda/a.

Passo 3

Agora, a condição para máximos de interferência das duas fendas é
d\sin\theta = m\lambda,
onde m=0,\pm1,\pm2,\dots é a ordem do máximo de interferência. Cada m dá um máximo deslocado para um ângulo \theta_m tal que \sin\theta_m = m\lambda/d.

Passo 4

Para que um máximo de interferência de ordem m caiba dentro do máximo central de difração é necessário que o ângulo satisfaça |\sin\theta_m| < \lambda/a (estritamente menor, porque se for igual cai exatamente no mínimo de difração e fica escuro). Substituindo \sin\theta_m obtemos a condição sobre m:
\left|\frac{m\lambda}{d}\right| < \frac{\lambda}{a}.
Cancelando \lambda (não-nulo) na desigualdade:
|m| < \frac{d}{a}.
Isto nos diz que os valores inteiros de m permitidos são todos os inteiros com magnitude estritamente menor que d/a.

Passo 5

Calculemos o quociente d/a usando os valores dados (peguei d e a do enunciado e converti para metros no Passo 1):
\frac{d}{a} = \frac{2{,}0\times10^{-4}}{1{,}0\times10^{-5}} = 20.
Portanto a condição é |m| < 20.

Passo 6

Como m deve ser inteiro, os valores permitidos são
m = -19,\,-18,\dots,-1,\,0,\,1,\dots,18,\,19.
Isso dá um total de 2\times19+1 = 39 máximos de interferência com intensidade diferente de zero dentro do máximo central de difração. Observação importante: os valores m=\pm20 corresponderiam a |m|=20, que dá \sin\theta=\pm\lambda/a — exatamente nos mínimos de difração — portanto não são franjas brilhantes e não são contados.
Um cálculo de verificação rápido (opcional): \lambda/d = \dfrac{700\times10^{-9}}{2{,}0\times10^{-4}} = 3{,}5\times10^{-3}. Então m=19 \sin\theta=19(3{,}5\times10^{-3})=0{,}0665 e m=20 \sin\theta=0{,}07, enquanto \lambda/a = \dfrac{700\times10^{-9}}{1{,}0\times10^{-5}}=0{,}07. Vê-se que m=19 está dentro do envelope e m=20 cai exatamente na borda (mínimo).

Resposta

39 franjas brilhantes

Exercícios relacionados