A two-slit Fraunhofer interference-diffraction pattern is observed using light that has a wavelength equal to 700 nm . The slits have widths of 0.010 mm and are separated by 0.20 mm . How many bright fringes will be seen in the central diffraction maximum?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados (vou escrever tudo em unidades do SI para evitar confusão):
comprimento de onda: \lambda = 700\\ \text{nm} = 700\times10^{-9}\\ \text{m},
largura de cada fenda: a = 0{,}010\\ \text{mm} = 0{,}010\times10^{-3}\\ \text{m} = 1{,}0\times10^{-5}\\ \text{m},
separação entre centros das fendas: d = 0{,}20\\ \text{mm} = 0{,}20\times10^{-3}\\ \text{m} = 2{,}0\times10^{-4}\\ \text{m}.
O que o enunciado pede:
determinar quantas franjas brilhantes de interferência (ou seja, máximos de interferência) aparecem dentro do máximo central do envelope de difração de uma única fenda.
Passo 2
Relembrando a fórmula da difração por uma única fenda (mínimos de difração): as direções dos mínimos são dadas por
a\sin\theta = m'\lambda,
onde m'=\pm1,\pm2,\dots. O primeiro mínimo de difração (que delimita o máximo central) corresponde a m'=\pm1, logo as bordas do máximo central satisfazem
Em outras palavras, o envelope útil (onde aparecem as franjas brilhantes visíveis) está limitado por \sin\theta=\pm\lambda/a.
Passo 3
Agora, a condição para máximos de interferência das duas fendas é
d\sin\theta = m\lambda,
onde m=0,\pm1,\pm2,\dots é a ordem do máximo de interferência. Cada m dá um máximo deslocado para um ângulo \theta_m tal que \sin\theta_m = m\lambda/d.
Passo 4
Para que um máximo de interferência de ordem m caiba dentro do máximo central de difração é necessário que o ângulo satisfaça |\sin\theta_m| < \lambda/a (estritamente menor, porque se for igual cai exatamente no mínimo de difração e fica escuro). Substituindo \sin\theta_m obtemos a condição sobre m:
Como m deve ser inteiro, os valores permitidos são
m = -19,\,-18,\dots,-1,\,0,\,1,\dots,18,\,19.
Isso dá um total de 2\times19+1 = 39 máximos de interferência com intensidade diferente de zero dentro do máximo central de difração. Observação importante: os valores m=\pm20 corresponderiam a |m|=20, que dá \sin\theta=\pm\lambda/a — exatamente nos mínimos de difração — portanto não são franjas brilhantes e não são contados.
Um cálculo de verificação rápido (opcional): \lambda/d = \dfrac{700\times10^{-9}}{2{,}0\times10^{-4}} = 3{,}5\times10^{-3}. Então m=19 dá \sin\theta=19(3{,}5\times10^{-3})=0{,}0665 e m=20 dá \sin\theta=0{,}07, enquanto \lambda/a = \dfrac{700\times10^{-9}}{1{,}0\times10^{-5}}=0{,}07. Vê-se que m=19 está dentro do envelope e m=20 cai exatamente na borda (mínimo).