O período de rotação do Sol no seu equador é de 24,7 dias; seu raio mede 7,0 \times 10^{5} \mathrm{~km}. Calculo o deslocamento Doppler no comprimento de onda, esperado para a luz de comprimento de onda 550 nm emitida pelas bordas do disco solar.

Passo 1

O enunciado pede o deslocamento Doppler no comprimento de onda para a luz de comprimento de onda 550\\ \mathrm{nm} emitida pelas bordas do disco solar. Dados fornecidos:
  • Período de rotação no equador: T=24{,}7\\ \text{dias}.
  • Raio do Sol: R=7{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{km}.
  • Comprimento de onda observado: \lambda=550\\ \mathrm{nm}.
O objetivo é calcular o deslocamento em comprimento de onda \Delta\lambda devido à velocidade de rotação nas bordas do disco (onde a velocidade tangencial está dirigida ao longo da linha de visão, com sinais opostos nas duas bordas).

Passo 2

Estratégia e fórmulas que vamos usar (explicação didática simples):
  • A velocidade tangencial de rotação no equador é dada por \;v=\dfrac{2\pi R}{T}\;. Aqui R é o raio (em metros) e T o período (em segundos). Essa fórmula vem do fato de que a circunferência é 2\pi R e o tempo para dar uma volta é T.
  • Para velocidades muito menores que a velocidade da luz, o deslocamento Doppler não-relativístico relaciona a variação relativa do comprimento de onda com a velocidade radial pela fórmula
\frac{\Delta\lambda}{\lambda}=\frac{v_{r}}{c},
onde v_{r} é a componente da velocidade na direção da linha de visão e c é a velocidade da luz no vácuo. Nas bordas do disco, a componente radial é, aproximadamente, igual à velocidade tangencial v (um lado aparece deslocado para o azul v_{r}=-v e o outro para o vermelho v_{r}=+v).
  • Portanto o deslocamento em magnitude será
\Delta\lambda=\lambda\frac{v}{c}.
Vou usar essa fórmula e também calcularei a diferença total entre as duas bordas, que vale 2\Delta\lambda.

Passo 3

Converter unidades para o SI:
  • Converter o raio para metros: como 1\\ \mathrm{km}=10^{3}\\ \mathrm{m},
R = 7{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{km}=7{,}0\times10^{5}\times10^{3}\\ \mathrm{m}=7{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m}.
  • Converter o período para segundos: 1\\ \text{dia}=86400\\ \mathrm{s}, logo
T = 24{,}7\\ \text{dias}=24{,}7\times86400\\ \mathrm{s}=2{,}134\,080\\ \mathrm{s}.
  • Comprimento de onda em metros:
\lambda = 550\\ \mathrm{nm}=550\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=5{,}50\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Usarei c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} como valor para a velocidade da luz (suficientemente preciso para este cálculo).

Passo 4

Calcular a velocidade tangencial de rotação no equador usando \;v=\dfrac{2\pi R}{T}\;.
v=\frac{2\pi\,(7{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m})}{2{,}134\,080\\ \mathrm{s}}.
Calculemos numericamente passo a passo:
2\pi R = 2\pi\times7{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m}\approx 4{,}398\,23\times10^{9}\\ \mathrm{m},
v\approx\frac{4{,}398\,23\times10^{9}}{2{,}134\,080}\\ \mathrm{m/s}\approx2{,}06\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade tangencial no equador é aproximadamente \;v\approx2{,}06\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}\; (cerca de 2{,}06\\ \mathrm{km/s}).

Passo 5

Aplicar a fórmula Doppler não-relativística para obter \Delta\lambda:
\Delta\lambda=\lambda\frac{v}{c}.
Substituindo os valores:
\Delta\lambda = (5{,}50\times10^{-7}\\ \mathrm{m})\times\frac{2{,}06\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}}{3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}.
Calcule a fração:
\frac{v}{c}\approx\frac{2{,}06\times10^{3}}{3{,}00\times10^{8}}\approx6{,}87\times10^{-6}.
Então
\Delta\lambda \approx 5{,}50\times10^{-7}\times6{,}87\times10^{-6}\\ \mathrm{m} \approx3{,}78\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.
Converter para unidades mais usuais:
  • Em nanômetros ( \mathrm{nm}): 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m},
\Delta\lambda\approx3{,}78\times10^{-12}\\ \mathrm{m}=3{,}78\times10^{-3}\\ \mathrm{nm}.
  • Em picômetros ( \mathrm{pm}): 1\\ \mathrm{pm}=10^{-12}\\ \mathrm{m},
\Delta\lambda\approx3{,}78\\ \mathrm{pm}.

Passo 6

Interpretação física simples e resultado adicional pedido:
  • O lado do disco que se aproxima terá deslocamento para o azul de magnitude \Delta\lambda e o lado que se afasta terá deslocamento para o vermelho de mesma magnitude. Portanto a separação total entre as duas bordas (diferença de comprimento de onda entre elas) é 2\Delta\lambda:
2\Delta\lambda\approx2\times3{,}78\times10^{-3}\\ \mathrm{nm}\approx7{,}56\times10^{-3}\\ \mathrm{nm}.

Resposta

\Delta\lambda\approx3{,}78\times10^{-3}\\ \mathrm{nm} (deslocamento em magnitude de cada borda; um lado azul, o outro vermelho)
\text{Diferença total entre bordas }=2\Delta\lambda\approx7{,}56\times10^{-3}\\ \mathrm{nm}ç

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