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- Um microprocessador controla a posição do pára-choque dianteiro de um carro usado em um teste. A posição é dada por x(t) = 2,17 m (4,80m/s2)t2 - (0,10m/s6)t6. A) Determine sua posição e aceleração para os instantes em que o carro possui velocidade zero. B) Desenhe os gráficos xt, vxt e axt para o movimento do para-choque entre t = 0 e t = 2 s
- Um microprocessador controla a posição do pára-choque dianteiro de um carro usado em um teste. A posição é dada por x(t) = 2,17 m (4,80m/s2)t2 - (0,10m/s6)t6. A) Determine sua posição e aceleração para os instantes em que o carro possui velocidade zero. B) Desenhe os gráficos xt, vxt e axt para o movimento do para-choque entre t = 0 e t = 2 s
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento do pára-choque de um carro, cuja posição ao longo do tempo é dada pela função $ x(t) = 2,17, m + (4,80, m/s^2) , t^2 - (0,10, m/s^6) , t^6 $. A gente precisa resolver duas partes:
A) Encontrar a posição e a aceleração do pára-choque nos momentos em que a velocidade do carro é zero.
B) Desenhar os gráficos da posição $ x(t) $, da velocidade $ v(t) $ e da aceleração $ a(t) $ para o intervalo de tempo entre 0 e 2 segundos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a velocidade $ v(t) $ é a derivada da posição $ x(t) $ em relação ao tempo. Ou seja, $ v(t) = \frac{dx}{dt} $. Vamos derivar a função $ x(t) $:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os tempos $ t $ em que a velocidade é zero. Para isso, igualamos $ v(t) $ a zero:
Isso nos dá duas soluções:
- $ t = 0 $
- $ 9,60 - 0,60, t^4 = 0 $
$ t^4 = \frac{9,60}{0,60} = 16 $ $ t = \sqrt[4]{16} = 2 $ segundos.
Então, a velocidade é zero nos instantes $ t = 0 $ s e $ t = 2 $ s.
Passo 4
Com os tempos onde a velocidade é zero, vamos encontrar a posição $ x(t) $ nesses instantes:
Para $ t = 0 $:
Para $ t = 2 $:
Passo 5
Agora, vamos calcular a aceleração $ a(t) $, que é a derivada da velocidade $ v(t) $:
Vamos avaliar $ a(t) $ nos instantes $ t = 0 $ s e $ t = 2 $ s:
Para $ t = 0 $:
Para $ t = 2 $:
Resposta
A) Nos instantes em que a velocidade é zero, ou seja, $ t = 0 $ s e $ t = 2 $ s:
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Para $ t = 0 $ s:
- Posição: $ x(0) = 2,17, m $
- Aceleração: $ a(0) = 9,60, m/s^2 $
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Para $ t = 2 $ s:
- Posição: $ x(2) = 14,97, m $
- Aceleração: $ a(2) = -38,40, m/s^2 $