1. Um microprocessador controla a posição do pára-choque dianteiro de um carro usado em um teste. A posição é dada por x(t) = 2,17 m (4,80m/s2)t2 - (0,10m/s6)t6. A) Determine sua posição e aceleração para os instantes em que o carro possui velocidade zero. B) Desenhe os gráficos xt, vxt e axt para o movimento do para-choque entre t = 0 e t = 2 s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento do pára-choque de um carro, cuja posição ao longo do tempo é dada pela função $ x(t) = 2,17, m + (4,80, m/s^2) , t^2 - (0,10, m/s^6) , t^6 $. A gente precisa resolver duas partes:
A) Encontrar a posição e a aceleração do pára-choque nos momentos em que a velocidade do carro é zero.
B) Desenhar os gráficos da posição $ x(t) $, da velocidade $ v(t) $ e da aceleração $ a(t) $ para o intervalo de tempo entre 0 e 2 segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a velocidade $ v(t) $ é a derivada da posição $ x(t) $ em relação ao tempo. Ou seja, $ v(t) = \frac{dx}{dt} $. Vamos derivar a função $ x(t) $:
v(t)
Derivando termo a termo:
x(t)
v(t) = dxdt

Passo 3

Agora, vamos encontrar os tempos $ t $ em que a velocidade é zero. Para isso, igualamos $ v(t) $ a zero:
t
v(t)
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ t = 0 $
  2. $ 9,60 - 0,60, t^4 = 0 $ 9,60, t - 0,60, t^5 = 0 $ t^4 = \frac{9,60}{0,60} = 16 $ t (9,60 - 0,60, t^4) = 0 $ t = \sqrt[4]{16} = 2 $ segundos.
Então, a velocidade é zero nos instantes $ t = 0 $ s e $ t = 2 $ s.

Passo 4

Com os tempos onde a velocidade é zero, vamos encontrar a posição $ x(t) $ nesses instantes:
Para $ t = 0 $:
x(t)
Para $ t = 2 $:
t = 0
x(0) = 2,17, m + 4,80, m/s^2 times 0^2 - 0,10, m/s^6 times 0^6 = 2,17, m
t = 2
x(2) = 2,17, m + 4,80, m/s^2 times (2)^2 - 0,10, m/s^6 times (2)^6

Passo 5

Agora, vamos calcular a aceleração $ a(t) $, que é a derivada da velocidade $ v(t) $:
a(t)
v(t)
a(t) = dvdt
Vamos avaliar $ a(t) $ nos instantes $ t = 0 $ s e $ t = 2 $ s:
Para $ t = 0 $:
a(t) = ddt [ 9,60, t - 0,60, t^5 ]
Para $ t = 2 $:
a(t) = 9,60, m/s^2 - 3,00, m/s^6 times t^4
a(t)
t = 0
t = 2

Resposta

A) Nos instantes em que a velocidade é zero, ou seja, $ t = 0 $ s e $ t = 2 $ s:
  • Para $ t = 0 $ s:
    • Posição: $ x(0) = 2,17, m $
    • Aceleração: $ a(0) = 9,60, m/s^2 $
  • Para $ t = 2 $ s:
    • Posição: $ x(2) = 14,97, m $
    • Aceleração: $ a(2) = -38,40, m/s^2 $

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