Q1. Um microprocessador de geração de corrente é construído em uma matriz retangular, 2 cm (comprimento) \times 1 \mathrm{~cm} (largura) \times 0,35 \mathrm{~cm} (altura). Calor é gerado a uma taxa de 5 \times 10^{6} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}. O chip é resfriado através de uma corrente de ar a 20^{\circ} \mathrm{C}. Se a superfície do chip não pode exceder 105^{\circ} \mathrm{C}, quão rápido devemos forçar o ar através de sua superfície? De que modo devemss orientar o chip, relativo à corrente de ar, para obter uma taxa máxima de transparência de calor? Apresente uma análise com resultados e discussões.

Passo 1

O enunciado trata de um chip retangular de dimensões L=2\:\mathrm{cm}, W=1\:\mathrm{cm} e H=0,35\:\mathrm{cm} onde se gera calor a uma taxa volumétrica q'''=5\times10^{6}\:\mathrm{W/m^3}. Queremos determinar a velocidade mínima de uma corrente de ar a T_\infty=20^\circ\mathrm{C} de modo que a superfície do chip, resfriada por convecção forçada, não ultrapasse T_s=105^\circ\mathrm{C}. Também vamos analisar a orientação ótima do chip em relação ao fluxo de ar para maximizar a remoção de calor.

Passo 2

Calculemos primeiro a potência total gerada pelo chip:
V = L \times W \times H = (0,02)(0,01)(0,0035)\;\mathrm{m^3} =7{,}0\times10^{-7}\;\mathrm{m^3},
\dot Q = q''' \,V =5\times10^{6}\times7{,}0\times10^{-7} =3{,}5\;\mathrm{W}.
A área total de troca por convecção é
A = 2(LW + WH + LH) =2\bigl(0,02\cdot0,01 + 0,01\cdot0,0035 + 0,02\cdot0,0035\bigr) =6{,}1\times10^{-4}\;\mathrm{m^2}.

Passo 3

Para manter T_s-T_\infty=85\:\mathrm{K} sem exceder T_s, precisamos de um coeficiente médio h tal que
\dot Q = h\,A\,(T_s - T_\infty) \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{\dot Q}{A\,(T_s-T_\infty)} = \frac{3{,}5}{6{,}1\times10^{-4}\times85} \approx6{,}8\times10^{1}\;\mathrm{W/m^2K}.

Passo 4

Adotamos convecção forçada sobre placa plana em regime laminar, pois o comprimento característico L=0,02\:\mathrm{m} e velocidades moderadas levam a \mathrm{Re}_L<5\times10^5. Usamos:
\mathrm{Nu}_L = 0,664\,\mathrm{Re}_L^{1/2}\,\Pr^{1/3}, \quad h = \frac{\mathrm{Nu}_L\,k}{L}.
Em temperatura‐filme próxima a 60^\circ\mathrm{C}, tomamos k=0,026\:\mathrm{W/mK}, \Pr=0,7 e \nu=2,2\times10^{-5}\:\mathrm{m^2/s}.
Igualando h requeridos:
\mathrm{Nu}_L = \frac{h\,L}{k} \approx\frac{68\times0,02}{0,026} \approx52{,}3,
\mathrm{Re}_L^{1/2} = \frac{\mathrm{Nu}_L}{0,664\,\Pr^{1/3}} \approx\frac{52{,}3}{0,664\times0,7^{1/3}} \approx88{,}8, \quad \mathrm{Re}_L\approx7{,}9\times10^{3}.
Como \mathrm{Re}_L=U\,L/\nu, vem
U = \frac{\mathrm{Re}_L\,\nu}{L} \approx\frac{7{,}9\times10^{3}\times2{,}2\times10^{-5}}{0,02} \approx8{,}7\;\mathrm{m/s}.

Passo 5

Para maximizar a remoção de calor, o chip deve expor à corrente de ar suas maiores faces (área L\times W), ou seja, as faces de 2\:\mathrm{cm}\times1\:\mathrm{cm} devem ficar perpendiculares ao fluxo. Isso garante a maior área útil de convecção e, portanto, a maior taxa de captação de calor.

Resposta

A velocidade mínima do ar deve ser cerca de U\approx9\:\mathrm{m/s}. O chip deve ser orientado de modo que as faces de 2\:\mathrm{cm}\times1\:\mathrm{cm} fiquem perpendiculares ao fluxo de ar, maximizando a área de convecção.

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