Q3. Uma nova superfície fractal foi desenvolvida para transferência de calor pela Crinkle Inc. A superfície foi projetada para melhorar a industria de transferência de calor em aplicações domésticas. Como engenheiro, você foi contratado para fazer uma análise preliminar de alguns dados experimentais. Os dados indicam que para uma placa de 0,25 \mathrm{~m} de comprimento, com o ar como meio de transferência de calor fluindo a 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, o perfil de temperatura no ar foi medido da seguinte forma:
T(x=L, y)=T_{s}-1,0 \times 10^{5} y+1,5 \times 10^{5} y^{3}
a superfície da placa está em y=0. I. Que melhoria percentual no coeficiente de transferência de calor (com referência a uma placa plana lisa convencional) foi alcançada por este novo projeto? II. A camada limite fluidodinâmica fica acima ou dentro da camada limite térmica?

Passo 1

Temos uma placa de comprimento L=0,25,m, com ar a U_\infty=5,m/s. No ponto de saída x=L, mediu-se o perfil de temperatura no ar como
T(x=L,y)=T_s - 1{,}0\times10^{5}\,y \;+\;1{,}5\times10^{5}\,y^{3},
onde y é a distância normal à superfície y=0 em T_s. Pedem:
I. Percentual de melhoria do coeficiente de transferência de calor h em relação à placa plana lisa.
II. Se a camada limite fluidodinâmica está acima ou dentro da camada limite térmica.

Passo 2

Para obter o coeficiente experimental h_{\rm fr} precisamos do fluxo de calor na parede
q'' = -\,k\,\left.\frac{dT}{dy}\right|_{y=0}.
Derivando o perfil,
\frac{dT}{dy} = -1{,}0\times10^{5} + 3\,(1{,}5\times10^{5})\,y^2,
logo em y=0
\left.\frac{dT}{dy}\right|_{0} = -1{,}0\times10^{5},
e
q'' = -\,k\,\bigl(-1{,}0\times10^{5}\bigr) = k\,1{,}0\times10^{5}.
O coeficiente experimental é
h_{\rm fr} = \frac{q''}{T_s - T_\infty} = \frac{k\,1{,}0\times10^{5}}{\,T_s - T_\infty\,}.

Passo 3

Para a placa plana lisa em escoamento laminar com temperatura de parede constante vale a correlação média
\overline{Nu}_L = 0{,}332\,Re_L^{1/2}\,Pr^{1/3},
com
Re_L = \frac{U_\infty L}{\nu}\approx\frac{5\cdot0{,}25}{1{,}48\times10^{-5}}\approx8{,}45\times10^{4}, \quad Pr\approx0{,}7,
logo
\overline{Nu}_L \approx0{,}332\,(8{,}45\times10^{4})^{1/2}\,(0{,}7)^{1/3}\approx85{,}6,
e
h_{\rm liso} = \frac{\overline{Nu}_L\,k}{L} \approx \frac{85{,}6\;k}{0{,}25}.

Passo 4

A melhoria percentual seria
\frac{h_{\rm fr}}{h_{\rm liso}} -1 =\frac{\displaystyle \frac{k\,1{,}0\times10^{5}}{T_s-T_\infty}} {\displaystyle \frac{85{,}6\,k}{0,25}} -1 =\frac{0{,}25\,(1{,}0\times10^{5})}{85{,}6\,(T_s-T_\infty)}-1.
Como o problema não fornece a diferença (T_s-T_\infty), não é possível calcular numericamente essa melhoria.

Passo 5

Para a camada limite hidrodinâmica sobre placa lisa em regime laminar usa-se
\delta(x)\approx\frac{5\,x}{\sqrt{Re_x}},
em x=L
\delta(L)\approx\frac{5\cdot0{,}25}{\sqrt{8,45\times10^{4}}}\approx4{,}3\times10^{-3}\text{ m}.
A camada limite térmica é
\delta_T\approx\frac{\delta}{Pr^{1/3}} \approx\frac{4{,}3\times10^{-3}}{0{,}7^{1/3}} \approx4{,}8\times10^{-3}\text{ m}.
Como \delta_T>\delta, a camada limite fluidodinâmica fica dentro da camada limite térmica.

Resposta

I. Não é possível determinar numericamente a melhoria em \% pois falta a diferença de temperatura \bigl(T_s - T_\infty\bigr).
II. A camada limite fluidodinâmica fica dentro da camada limite térmica.

Exercícios relacionados