Dois fios paralelos infinitos separados por uma distância d=20 \mathrm{~cm} conduzem correntes i_{1}=10 \mathrm{~A} e i_{2}=15 \mathrm{~A} em sentidos opostos. Existe um elétron localizado no plano que contém os dois fios, a uma distância r_{1}=5,0 \mathrm{~cm} do primeiro fio e r_{2}=15 \mathrm{~cm} do segundo. Se o elétron tem velocidade \vec{v}=3,0 \times 10^{6} \hat{k} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, calcule:
(a) O campo magnético resultante na posição do elétron
(b) A força magnética sobre o elétron
(c) A aceleração do elétron

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados (peguei todos do enunciado):
    • d=20\\ \mathrm{cm}=0,20\\ \mathrm{m} (distância entre os dois fios).
    • i_{1}=10\\ \mathrm{A}.
    • i_{2}=15\\ \mathrm{A}.
    • O elétron está a r_{1}=5,0\\ \mathrm{cm}=0,050\\ \mathrm{m} do fio 1 e a r_{2}=15\\ \mathrm{cm}=0,15\\ \mathrm{m} do fio 2. (Observação: r_{1}+r_{2}=d, logo o elétron está entre os dois fios.)
    • Velocidade do elétron: \vec{v}=3,0\times10^{6}\,\hat{k}\\ \mathrm{m/s}.
    • Carga do elétron: q=-e com e=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
    • Massa do elétron: m_{e}=9,11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Perguntas:
    (a) Calcular o campo magnético resultante na posição do elétron.
    (b) Calcular a força magnética sobre o elétron.
    (c) Calcular a aceleração do elétron.

Passo 2

Escolha de sistema de coordenadas e orientação física (importante para saber direções).
  • Vou colocar os fios como linhas paralelas ao eixo \hat{k} (eixo z). Isso é padrão para fios longos: as correntes fluem ao longo de \hat{k} ou -\hat{k}.
  • Coloco o fio 1 em x=0 e o fio 2 em x=d=0,20\\ \mathrm{m}. O elétron fica em x=r_{1}=0,050\\ \mathrm{m}, ou seja entre os fios ao longo do eixo x.
  • Tomarei \hat{i},\hat{j},\hat{k} como os vetores unitários dos eixos x,y,z.
  • Assumo que i_{1} está no sentido +\hat{k} (para cima) e que i_{2} está no sentido oposto, isto é, em -\hat{k}. Isso respeita o enunciado “correntes em sentidos opostos”. Se o enunciado tivesse dado os sentidos explicitamente, usaríamos esses; a escolha explícita só fixa o sinal de cada contribuição do campo.
  • Importante: o campo magnético criado por um fio longo, no ponto considerado, é tangencial (faz círculos em torno do fio). A direção é dada pela regra da mão direita. Vou usar a forma vetorial a seguir.

Passo 3

Fórmula do campo magnético de um fio retilíneo longo e interpretação das variáveis.
  • A magnitude do campo magnético, a uma distância r de um fio infinito com corrente I, é
B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r},
onde \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
  • Em forma vetorial, a direção é \hat{\varphi} (tangencial) obtida pela regra da mão direita; para um fio ao longo de \hat{k} e um ponto no eixo x a uma distância positiva, tem-se \hat{\varphi}=\hat{z}\times\hat{r} normalizado. Não é preciso complicar: avaliando no nosso ponto (e usando a localização relativa aos fios) dá-se a direção explícita.
  • Vamos determinar a direção de cada \vec{B} no ponto do elétron:
    • Para o fio 1 ( i_{1}=+10\\ \mathrm{A} em +\hat{k}), no ponto x=+0,050\\ \mathrm{m} (à direita do fio), a regra da mão direita dá \vec{B}_{1} apontando no sentido +\hat{j}.
    • Para o fio 2 ( i_{2}=15\\ \mathrm{A} em -\hat{k}), no ponto que está à esquerda do fio 2 (porque x=0,05<0,20), a combinação do sentido oposto da corrente com a posição leva também a \vec{B}_{2} apontando em +\hat{j}. (Conclusão intuitiva: quando os fios têm correntes em sentidos opostos, no ponto entre eles os campos podem se somar.)
  • Logo as duas contribuições estão na mesma direção \hat{j} e o campo resultante é soma escalar das magnitudes.

Passo 4

Calcular as magnitudes B_{1} e B_{2} e somar.
  • Use a fórmula para cada fio:
B_{1}=\frac{\mu_{0} i_{1}}{2\pi r_{1}},\qquad B_{2}=\frac{\mu_{0} i_{2}}{2\pi r_{2}}.
  • Colocando \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A} e simplificando \dfrac{\mu_{0}}{2\pi}=2\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}, obtemos
B_{\text{result}}=B_{1}+B_{2} =\frac{\mu_{0}}{2\pi}\!\left(\frac{i_{1}}{r_{1}}+\frac{i_{2}}{r_{2}}\right) =2\times10^{-7}\!\left(\frac{i_{1}}{r_{1}}+\frac{i_{2}}{r_{2}}\right).
  • Substituindo os números (tudo em SI):
    • \dfrac{i_{1}}{r_{1}}=\dfrac{10}{0,050}=200\\ \mathrm{A/m}.
    • \dfrac{i_{2}}{r_{2}}=\dfrac{15}{0,15}=100\\ \mathrm{A/m}.
    • Soma =300\\ \mathrm{A/m}.
  • Então
B_{\text{result}}=2\times10^{-7}\times 300 =6,0\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.
  • Direção: conforme argumentado, \vec{B}_{\text{result}}=6,0\times10^{-5}\,\hat{j}\\ \mathrm{T}.

Passo 5

Fórmula da força magnética (Lei de Lorentz) e interpretação das variáveis.
  • A força magnética sobre uma carga q em movimento é
\vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B},
onde \vec{v} é a velocidade da carga e \vec{B} o campo magnético.
  • No nosso caso q=-e, \vec{v}=3,0\times10^{6}\,\hat{k}\\ \mathrm{m/s} e \vec{B}=6,0\times10^{-5}\,\hat{j}\\ \mathrm{T}.
  • Calcule o produto vetorial:
    • Primeiro \vec{v}\times\vec{B}=(3,0\times10^{6}\,\hat{k})\times(6,0\times10^{-5}\,\hat{j}).
    • Magnitude: vB=(3,0\times10^{6})(6,0\times10^{-5}).
    • Direção: \hat{k}\times\hat{j}=-\hat{i} (usar a regra cíclica dos vetores unitários).
  • Portanto
\vec{v}\times\vec{B}= (3,0\times10^{6})(6,0\times10^{-5})(-\hat{i}) = -180\,\hat{i}\\ \mathrm{m\cdot T / s}.
(Na prática só precisamos do número para multiplicar por q.)

Passo 6

Calcular numericamente a força e indicar direção final considerando a carga do elétron.
  • Magnitude numérica do produto vB:
vB=(3,0\times10^{6})(6,0\times10^{-5})=180.
  • Agora \vec{F}=q(\vec{v}\times\vec{B})=(-e)(-180\,\hat{i})=+e\cdot180\,\hat{i}.
  • Substituindo e=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}:
|\vec{F}|=1,602\times10^{-19}\times180 =2,8836\times10^{-17}\\ \mathrm{N}.
  • Arredondando para duas casas significativas (consistentes com os dados): 2,9\times10^{-17}\\ \mathrm{N}.
  • Direção: \hat{i} (isto é, para o + x, ou “para a direita” no esquema adotado).

Passo 7

Calcular a aceleração a partir da segunda lei de Newton.
  • A aceleração é \vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_{e}}.
  • Substituindo valores:
\vec{a}=\frac{2,8836\times10^{-17}\,\hat{i}}{9,11\times10^{-31}} \approx 3,166\times10^{13}\,\hat{i}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Arredondando para duas casas significativas: \vec{a}\approx 3,2\times10^{13}\,\hat{i}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Direção: mesma da força, ou seja \hat{i} (para + x).

Resposta

(a) \vec{B}=6,0\times10^{-5}\,\hat{j}\\ \mathrm{T}
(b) \vec{F}=2,9\times10^{-17}\,\hat{i}\\ \mathrm{N}
(c) \vec{a}=3,2\times10^{13}\,\hat{i}\\ \mathrm{m/s^{2}}

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