Dois fios paralelos infinitos separados por uma distância
conduzem correntes
e
em sentidos opostos. Existe um elétron localizado no plano que contém os dois fios, a uma distância
do primeiro fio e
do segundo. Se o elétron tem velocidade
, calcule:
(a) O campo magnético resultante na posição do elétron
(b) A força magnética sobre o elétron
(c) A aceleração do elétron
(a) O campo magnético resultante na posição do elétron
(b) A força magnética sobre o elétron
(c) A aceleração do elétron
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados (peguei todos do enunciado):
-
(distância entre os dois fios). -
. -
. - O elétron está a
do fio 1 e a do fio 2. (Observação: , logo o elétron está entre os dois fios.) - Velocidade do elétron:
. - Carga do elétron:
com . - Massa do elétron:
.
-
- Perguntas:
(a) Calcular o campo magnético resultante na posição do elétron.
(b) Calcular a força magnética sobre o elétron.
(c) Calcular a aceleração do elétron.
Passo 2
Escolha de sistema de coordenadas e orientação física (importante para saber direções).
- Vou colocar os fios como linhas paralelas ao eixo
(eixo ). Isso é padrão para fios longos: as correntes fluem ao longo de ou . - Coloco o fio 1 em
e o fio 2 em . O elétron fica em , ou seja entre os fios ao longo do eixo . - Tomarei
como os vetores unitários dos eixos . - Assumo que
está no sentido (para cima) e que está no sentido oposto, isto é, em . Isso respeita o enunciado “correntes em sentidos opostos”. Se o enunciado tivesse dado os sentidos explicitamente, usaríamos esses; a escolha explícita só fixa o sinal de cada contribuição do campo. - Importante: o campo magnético criado por um fio longo, no ponto considerado, é tangencial (faz círculos em torno do fio). A direção é dada pela regra da mão direita. Vou usar a forma vetorial a seguir.
Passo 3
Fórmula do campo magnético de um fio retilíneo longo e interpretação das variáveis.
- A magnitude do campo magnético, a uma distância
de um fio infinito com corrente , é
onde
.
- Em forma vetorial, a direção é
(tangencial) obtida pela regra da mão direita; para um fio ao longo de e um ponto no eixo a uma distância positiva, tem-se normalizado. Não é preciso complicar: avaliando no nosso ponto (e usando a localização relativa aos fios) dá-se a direção explícita. - Vamos determinar a direção de cada
no ponto do elétron: - Para o fio 1 (
em ), no ponto (à direita do fio), a regra da mão direita dá apontando no sentido . - Para o fio 2 (
em ), no ponto que está à esquerda do fio 2 (porque ), a combinação do sentido oposto da corrente com a posição leva também a apontando em . (Conclusão intuitiva: quando os fios têm correntes em sentidos opostos, no ponto entre eles os campos podem se somar.)
- Para o fio 1 (
- Logo as duas contribuições estão na mesma direção
e o campo resultante é soma escalar das magnitudes.
Passo 4
Calcular as magnitudes
e
e somar.
- Use a fórmula para cada fio:
- Colocando
e simplificando , obtemos
- Substituindo os números (tudo em SI):
-
-
- Soma
-
- Então
- Direção: conforme argumentado,
Passo 5
Fórmula da força magnética (Lei de Lorentz) e interpretação das variáveis.
- A força magnética sobre uma carga
em movimento é
onde
é a velocidade da carga e
o campo magnético.
- No nosso caso
, e . - Calcule o produto vetorial:
- Primeiro
. - Magnitude:
. - Direção:
(usar a regra cíclica dos vetores unitários).
- Primeiro
- Portanto
(Na prática só precisamos do número para multiplicar por
.)
Passo 6
Calcular numericamente a força e indicar direção final considerando a carga do elétron.
- Magnitude numérica do produto
:
- Agora
. - Substituindo
:
- Arredondando para duas casas significativas (consistentes com os dados):
. - Direção:
(isto é, para o + , ou “para a direita” no esquema adotado).
Passo 7
Calcular a aceleração a partir da segunda lei de Newton.
- A aceleração é
. - Substituindo valores:
- Arredondando para duas casas significativas:
. - Direção: mesma da força, ou seja
(para + ).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)