Um mineiro está preso numa mina contendo 3 portas. A porta 1 o conduz à saída após 3 horas de caminhada. A porta 2 o conduz a um túnel que o retorna ao mesmo lugar da mina após 2 horas. A porta 3 o conduz a um túnel que o retorna ao mesmo lugar após 4 horas. Assuma que o mineiro escolhe qualquer porta aleatoriamente todas as vezes.
i) Obtenha o tempo esperado de saída do mineiro.
ii) Determine a função geradora de probabilidades do tempo de saída do mineiro.
iii) Determine a função característica do tempo de saída do mineiro.
i) Obtenha o tempo esperado de saída do mineiro.
ii) Determine a função geradora de probabilidades do tempo de saída do mineiro.
iii) Determine a função característica do tempo de saída do mineiro.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Informações dadas:
- A cada escolha o mineiro escolhe uma das três portas com probabilidade igual:
para cada. - Porta 1: leva à saída após
horas (e o processo termina). - Porta 2: leva de volta ao ponto inicial após
horas (o mineiro recomeça). - Porta 3: leva de volta ao ponto inicial após
horas (o mineiro recomeça).
- A cada escolha o mineiro escolhe uma das três portas com probabilidade igual:
-
O que o enunciado pede:
i) O tempo esperado até a saída do mineiro (esperança de, onde é o tempo total até sair).
ii) A função geradora de probabilidades (PGF) do tempo de saída, ou seja .
iii) A função característica de, isto é .
Passo 2
Vamos modelar o problema por condicionamento na primeira escolha do mineiro (uma técnica padrão: “condicionar no que acontece na primeira etapa e usar a propriedade de reinício”).
Defina
o tempo total até a saída. Pela descrição, ao escolher a primeira porta há três possibilidades:
- com probabilidade
: escolhe a porta 1 e o tempo total é ; - com probabilidade
: escolhe a porta 2, gasta horas e volta ao mesmo estado inicial, então o tempo total é onde tem a mesma distribuição que e é independente do que já ocorreu; - com probabilidade
: escolhe a porta 3, gasta horas e volta ao início, então o tempo total é onde tem a mesma distribuição que .
Agora use o lema da esperança condicionada (lei da esperança):
Vou desenvolver a conta passo a passo:
Somando os termos constantes:
Ou seja
Isolando
:
Comentário de verificação (opcional, mas didático): outra forma de ver é contar o número de tentativas até escolher a porta 1. Seja
o número de tentativas até o sucesso (porta 1);
tem distribuição geométrica com parâmetro
, logo
. Em cada tentativa que falha (há
falhas) o tempo gasto é
ou
com probabilidade
cada (condicional em ter falhado). Assim a duração média de uma falha é
. Então
consistente com o cálculo anterior.
Passo 3
Agora vamos construir a função geradora de probabilidades (PGF) de
. Primeiro defino claramente o que é PGF neste contexto.
Definição: a PGF de uma variável aleatória inteira não-negativa
é
para
complexo com raio de convergência adequado (aqui
é inteiro com valores positivos, então a expressão faz sentido para
, e pode ser estendida).
Usando o mesmo condicionamento na primeira escolha:
- Se na primeira escolha for a porta
(probabilidade ), o contributo para a PGF é . - Se for a porta
(probabilidade ), gastou horas e reinicia, contributo . - Se for a porta
(probabilidade ), contributo .
Portanto
Isolando
:
Multiplicando por
e resolvendo:
Alternativa (intuitiva) que confirma a expressão: condicione pelo número de tentativas
. Como antes,
com
e
. Se houver
falhas antes do sucesso, a PGF do somatório das falhas é
, onde
é a PGF de uma falha (condicional em falha):
. Assim
Substituindo
,
,
:
idêntico à expressão anterior.
Passo 4
Finalmente, a função característica
é definida por
A relação de condicionamento dá a mesma equação que usamos para a PGF, basta substituir
. Ou seja, partindo de
fazendo
obtemos
Também é possível obter
diretamente por condicionamento (mesma ideia):
e resolvendo para
chega-se à mesma expressão acima.
Resposta
i)
horas.
ii)
.
iii)
.