Um mineiro está preso numa mina contendo 3 portas. A porta 1 o conduz à saída após 3 horas de caminhada. A porta 2 o conduz a um túnel que o retorna ao mesmo lugar da mina após 2 horas. A porta 3 o conduz a um túnel que o retorna ao mesmo lugar após 4 horas. Assuma que o mineiro escolhe qualquer porta aleatoriamente todas as vezes.
i) Obtenha o tempo esperado de saída do mineiro.
ii) Determine a função geradora de probabilidades do tempo de saída do mineiro.
iii) Determine a função característica do tempo de saída do mineiro.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Informações dadas:
    • A cada escolha o mineiro escolhe uma das três portas com probabilidade igual: 1/3 para cada.
    • Porta 1: leva à saída após 3 horas (e o processo termina).
    • Porta 2: leva de volta ao ponto inicial após 2 horas (o mineiro recomeça).
    • Porta 3: leva de volta ao ponto inicial após 4 horas (o mineiro recomeça).
  • O que o enunciado pede:
    i) O tempo esperado até a saída do mineiro (esperança de T, onde T é o tempo total até sair).
    ii) A função geradora de probabilidades (PGF) do tempo de saída T, ou seja G_T(s)=\mathbb{E}[s^{T}].
    iii) A função característica de T, isto é \varphi_T(t)=\mathbb{E}[e^{itT}].

Passo 2

Vamos modelar o problema por condicionamento na primeira escolha do mineiro (uma técnica padrão: “condicionar no que acontece na primeira etapa e usar a propriedade de reinício”).
Defina T o tempo total até a saída. Pela descrição, ao escolher a primeira porta há três possibilidades:
  • com probabilidade 1/3: escolhe a porta 1 e o tempo total é 3;
  • com probabilidade 1/3: escolhe a porta 2, gasta 2 horas e volta ao mesmo estado inicial, então o tempo total é 2 + T' onde T' tem a mesma distribuição que T e é independente do que já ocorreu;
  • com probabilidade 1/3: escolhe a porta 3, gasta 4 horas e volta ao início, então o tempo total é 4 + T'' onde T'' tem a mesma distribuição que T.
Agora use o lema da esperança condicionada (lei da esperança):
\mathbb{E}[T] = \frac{1}{3}\cdot 3 + \frac{1}{3}\cdot(2 + \mathbb{E}[T]) + \frac{1}{3}\cdot(4 + \mathbb{E}[T]).
Vou desenvolver a conta passo a passo:
\mathbb{E}[T] = \frac{3}{3} + \frac{2 + \mathbb{E}[T]}{3} + \frac{4 + \mathbb{E}[T]}{3}.
Somando os termos constantes:
\mathbb{E}[T] = \frac{3 + 2 + 4}{3} + \frac{2}{3}\,\mathbb{E}[T].
Ou seja
\mathbb{E}[T] = 3 + \frac{2}{3}\,\mathbb{E}[T].
Isolando \mathbb{E}[T]:
\mathbb{E}[T] - \frac{2}{3}\mathbb{E}[T] = 3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{3}\mathbb{E}[T] = 3 \quad\Longrightarrow\quad \mathbb{E}[T] = 9.
Comentário de verificação (opcional, mas didático): outra forma de ver é contar o número de tentativas até escolher a porta 1. Seja N o número de tentativas até o sucesso (porta 1); N tem distribuição geométrica com parâmetro p=1/3, logo \mathbb{E}[N]=1/p=3. Em cada tentativa que falha (há N-1 falhas) o tempo gasto é 2 ou 4 com probabilidade 1/2 cada (condicional em ter falhado). Assim a duração média de uma falha é \mathbb{E}[Z]=(2+4)/2=3. Então
\mathbb{E}[T]=3 + ( \mathbb{E}[N]-1)\,\mathbb{E}[Z] = 3 + (3-1)\cdot 3 = 3 + 6 = 9,
consistente com o cálculo anterior.

Passo 3

Agora vamos construir a função geradora de probabilidades (PGF) de T. Primeiro defino claramente o que é PGF neste contexto.
Definição: a PGF de uma variável aleatória inteira não-negativa T é
G_T(s)=\mathbb{E}[s^{T}],
para s complexo com raio de convergência adequado (aqui T é inteiro com valores positivos, então a expressão faz sentido para |s|\le 1, e pode ser estendida).
Usando o mesmo condicionamento na primeira escolha:
  • Se na primeira escolha for a porta 1 (probabilidade 1/3), o contributo para a PGF é (1/3)\,s^{3}.
  • Se for a porta 2 (probabilidade 1/3), gastou 2 horas e reinicia, contributo (1/3)\,s^{2}G_T(s).
  • Se for a porta 3 (probabilidade 1/3), contributo (1/3)\,s^{4}G_T(s).
Portanto
G_T(s) = \frac{1}{3}s^{3} + \frac{1}{3}s^{2}G_T(s) + \frac{1}{3}s^{4}G_T(s).
Isolando G_T(s):
G_T(s)\Bigl(1 - \frac{1}{3}(s^{2}+s^{4})\Bigr) = \frac{1}{3}s^{3}.
Multiplicando por 3 e resolvendo:
G_T(s)\bigl(3 - s^{2} - s^{4}\bigr) = s^{3} \quad\Longrightarrow\quad G_T(s) = \frac{s^{3}}{3 - s^{2} - s^{4}}.
Alternativa (intuitiva) que confirma a expressão: condicione pelo número de tentativas N. Como antes, P(N=n) = q^{\,n-1}p com p=1/3 e q=2/3. Se houver n-1 falhas antes do sucesso, a PGF do somatório das falhas é \bigl(f(s)\bigr)^{n-1}, onde f(s) é a PGF de uma falha (condicional em falha): f(s)=\tfrac{1}{2}s^{2}+\tfrac{1}{2}s^{4}. Assim
G_T(s)=\sum_{n\ge 1} p\,q^{\,n-1}\,s^{3}\bigl(f(s)\bigr)^{n-1} = p s^{3}\sum_{n\ge1} \bigl(q f(s)\bigr)^{n-1} = \frac{p s^{3}}{1-q f(s)}.
Substituindo p=1/3, q=2/3, f(s)=(s^{2}+s^{4})/2:
G_T(s)=\frac{\tfrac{1}{3}s^{3}}{1-\tfrac{2}{3}\cdot \tfrac{s^{2}+s^{4}}{2}} = \frac{s^{3}}{3 - s^{2} - s^{4}},
idêntico à expressão anterior.

Passo 4

Finalmente, a função característica \varphi_T(t) é definida por
\varphi_T(t)=\mathbb{E}\bigl[e^{itT}\bigr].
A relação de condicionamento dá a mesma equação que usamos para a PGF, basta substituir s=e^{it}. Ou seja, partindo de
G_T(s) = \frac{s^{3}}{3 - s^{2} - s^{4}},
fazendo s=e^{it} obtemos
\varphi_T(t)=G_T(e^{it})=\frac{e^{3it}}{3 - e^{2it} - e^{4it}}.
Também é possível obter \varphi_T(t) diretamente por condicionamento (mesma ideia):
\varphi_T(t)=\frac{1}{3}e^{3it}+\frac{1}{3}e^{2it}\varphi_T(t)+\frac{1}{3}e^{4it}\varphi_T(t)
e resolvendo para \varphi_T(t) chega-se à mesma expressão acima.

Resposta

i) \mathbb{E}[T]=9 horas.
ii) G_T(s)=\dfrac{s^{3}}{3 - s^{2} - s^{4}}.
iii) \varphi_T(t)=\dfrac{e^{3it}}{3 - e^{2it} - e^{4it}}.

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