Considere \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}\right) um vetor aleatório, tal que
M_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{t})=\exp \left\{\mu_{1} t_{1}+\mu_{2} t_{2}+\frac{\sigma_{1}^{2} t_{1}^{2}}{2}+\frac{\sigma_{2}^{2} t_{2}^{2}}{2}+\rho \sigma_{1} \sigma_{2} t_{1} t_{2}\right\}
\forall \boldsymbol{t} \in \mathbb{R}^{2}.
i) Encontre as fgm marginais de X_{1} e X_{2}.
ii) Determine para i=1,2 \mathbb{E}\left[X_{i}\right], \operatorname{Var}\left[X_{i}\right] e \operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right) usando propriedades da função geradora de momentos.
iii) Usando a função geradora de momentos conjunta, argumente se X_{1} e X_{2} são independentes.

Passo 1

O enunciado dá a função geradora de momentos (fgm) conjunta de \boldsymbol{X}=(X_{1},X_{2}):
M_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{t})=\exp\left\{\mu_{1}t_{1}+\mu_{2}t_{2}+\frac{\sigma_{1}^{2}t_{1}^{2}}{2}+\frac{\sigma_{2}^{2}t_{2}^{2}}{2}+\rho\sigma_{1}\sigma_{2}t_{1}t_{2}\right\}, \qquad \forall \boldsymbol{t}=(t_{1},t_{2})\in\mathbb{R}^{2}.
O que o enunciado pede:
i) Encontrar as fgm marginais de X_{1} e X_{2}.
ii) Determinar, para i=1,2, \mathbb{E}[X_{i}], \operatorname{Var}(X_{i}) e \operatorname{Cov}(X_{1},X_{2}) usando propriedades da função geradora de momentos.
iii) Usando a fgm conjunta, argumentar se X_{1} e X_{2} são independentes.
Informações relevantes dadas (pegar do enunciado):
  • Parâmetros \mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2} e \rho aparecem explicitamente na fgm.
  • A fgm é uma exponencial quadrática em t_{1},t_{2}, definida para todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Propriedade básica de fgm multivariada (útil para marginais):
  • A fgm marginal de X_{1} é obtida tomando t_{2}=0: M_{X_{1}}(t_{1})=M_{\boldsymbol{X}}(t_{1},0).
  • A fgm marginal de X_{2} é obtida tomando t_{1}=0: M_{X_{2}}(t_{2})=M_{\boldsymbol{X}}(0,t_{2}).
Vamos substituir na fgm dada.
Substituindo t_{2}=0:
M_{X_{1}}(t_{1})=M_{\boldsymbol{X}}(t_{1},0) =\exp\left\{\mu_{1}t_{1}+\frac{\sigma_{1}^{2}t_{1}^{2}}{2}\right\}.
Substituindo t_{1}=0:
M_{X_{2}}(t_{2})=M_{\boldsymbol{X}}(0,t_{2}) =\exp\left\{\mu_{2}t_{2}+\frac{\sigma_{2}^{2}t_{2}^{2}}{2}\right\}.
Interpretação didática curta: a forma
\exp\left\{\mu t+\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}\right\}
é exatamente a fgm da distribuição normal \mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}). Portanto as marginais são normais com os parâmetros indicados.

Passo 3

Explicar como obter esperanças e covariância a partir da fgm (fórmulas e motivo):
  • Para uma fgm multivariada M_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{t})= \mathbb{E}\big[e^{t_{1}X_{1}+t_{2}X_{2}}\big], as derivadas parciais no ponto \boldsymbol{t}=\boldsymbol{0} dão momentos. Em particular:
    • \mathbb{E}[X_{1}] = \left.\dfrac{\partial M_{\boldsymbol{X}}}{\partial t_{1}}\right|_{\boldsymbol{t}=\boldsymbol{0}}.
    • \mathbb{E}[X_{2}] = \left.\dfrac{\partial M_{\boldsymbol{X}}}{\partial t_{2}}\right|_{\boldsymbol{t}=\boldsymbol{0}}.
    • \mathbb{E}[X_{1}X_{2}] = \left.\dfrac{\partial^{2} M_{\boldsymbol{X}}}{\partial t_{1}\partial t_{2}}\right|_{\boldsymbol{t}=\boldsymbol{0}}.
    • \operatorname{Var}(X_{i}) = \mathbb{E}[X_{i}^{2}]-\mathbb{E}[X_{i}]^{2}, e \mathbb{E}[X_{i}^{2}]=\left.\dfrac{\partial^{2} M_{\boldsymbol{X}}}{\partial t_{i}^{2}}\right|_{\boldsymbol{t}=\boldsymbol{0}}.
  • Uma forma mais prática: trabalhar com a função geradora cumulante (log-fgm) K(\boldsymbol{t})=\log M_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{t}),cujas derivadas em \boldsymbol{0} são cumulantes: primeira derivada dá a média, segundas derivadas dão covariâncias.
Calcule K(\boldsymbol{t}) a partir da fgm dada:
K(\boldsymbol{t})=\mu_{1}t_{1}+\mu_{2}t_{2}+\frac{\sigma_{1}^{2}t_{1}^{2}}{2}+\frac{\sigma_{2}^{2}t_{2}^{2}}{2}+\rho\sigma_{1}\sigma_{2}t_{1}t_{2}.

Passo 4

Cálculo explícito das médias usando K e a relação com M.
Primeira derivada de K:
\frac{\partial K}{\partial t_{1}}=\mu_{1}+\sigma_{1}^{2}t_{1}+\rho\sigma_{1}\sigma_{2}t_{2}, \qquad \frac{\partial K}{\partial t_{2}}=\mu_{2}+\sigma_{2}^{2}t_{2}+\rho\sigma_{1}\sigma_{2}t_{1}.
Avaliar em \boldsymbol{t}=\boldsymbol{0} (isto dá as médias):
\left.\frac{\partial K}{\partial t_{1}}\right|_{\boldsymbol{0}}=\mu_{1}, \qquad \left.\frac{\partial K}{\partial t_{2}}\right|_{\boldsymbol{0}}=\mu_{2}.
Portanto
\mathbb{E}[X_{1}]=\mu_{1},\qquad \mathbb{E}[X_{2}]=\mu_{2}.
Para ver isso também diretamente na fgm M: como M=\exp(K),
\frac{\partial M}{\partial t_{1}}=\frac{\partial K}{\partial t_{1}}\,M,
avaliando em \boldsymbol{0} obtém-se \mathbb{E}[X_{1}]=\mu_{1} porque M(\boldsymbol{0})=1.

Passo 5

Cálculo explícito das segundas derivadas para obter \mathbb{E}[X_{i}^{2}] e \mathbb{E}[X_{1}X_{2}], e daí variâncias e covariância.
Segundas derivadas de K (constantes):
\frac{\partial^{2}K}{\partial t_{1}^{2}}=\sigma_{1}^{2}, \qquad \frac{\partial^{2}K}{\partial t_{2}^{2}}=\sigma_{2}^{2}, \qquad \frac{\partial^{2}K}{\partial t_{1}\partial t_{2}}=\rho\sigma_{1}\sigma_{2}.
Usando que \frac{\partial^{2}M}{\partial t_{1}^{2}}=\left(\frac{\partial^{2}K}{\partial t_{1}^{2}}+\Big(\frac{\partial K}{\partial t_{1}}\Big)^{2}\right)M e avaliando em \boldsymbol{0} (onde M(\boldsymbol{0})=1 e \left.\frac{\partial K}{\partial t_{1}}\right|_{\boldsymbol{0}}=\mu_{1}):
\mathbb{E}[X_{1}^{2}] =\left.\frac{\partial^{2}M}{\partial t_{1}^{2}}\right|_{\boldsymbol{0}} =\sigma_{1}^{2}+\mu_{1}^{2}.
Logo
\operatorname{Var}(X_{1})=\mathbb{E}[X_{1}^{2}]-\mathbb{E}[X_{1}]^{2} =(\sigma_{1}^{2}+\mu_{1}^{2})-\mu_{1}^{2}=\sigma_{1}^{2}.
De modo análogo para X_{2}:
\mathbb{E}[X_{2}^{2}]=\sigma_{2}^{2}+\mu_{2}^{2}, \qquad \operatorname{Var}(X_{2})=\sigma_{2}^{2}.
Agora a esperança mista. Da identidade
\frac{\partial^{2}M}{\partial t_{1}\partial t_{2}} =\left(\frac{\partial^{2}K}{\partial t_{1}\partial t_{2}}+\frac{\partial K}{\partial t_{1}}\frac{\partial K}{\partial t_{2}}\right)M,
avaliando em \boldsymbol{0}:
\mathbb{E}[X_{1}X_{2}] =\left.\frac{\partial^{2}M}{\partial t_{1}\partial t_{2}}\right|_{\boldsymbol{0}} =\rho\sigma_{1}\sigma_{2}+\mu_{1}\mu_{2}.
Logo a covariância é
\operatorname{Cov}(X_{1},X_{2}) =\mathbb{E}[X_{1}X_{2}]-\mathbb{E}[X_{1}]\mathbb{E}[X_{2}] =(\rho\sigma_{1}\sigma_{2}+\mu_{1}\mu_{2})-\mu_{1}\mu_{2} =\rho\sigma_{1}\sigma_{2}.
Resumo dos resultados obtidos (já demonstrados passo a passo):
  • \mathbb{E}[X_{1}]=\mu_{1}, \operatorname{Var}(X_{1})=\sigma_{1}^{2}.
  • \mathbb{E}[X_{2}]=\mu_{2}, \operatorname{Var}(X_{2})=\sigma_{2}^{2}.
  • \operatorname{Cov}(X_{1},X_{2})=\rho\sigma_{1}\sigma_{2}.

Passo 6

Argumento sobre independência usando a fgm conjunta:
Critério geral: variáveis aleatórias X_{1} e X_{2} são independentes se, e somente se, a fgm conjunta fatoriza em produto das marginais para todos t_{1},t_{2}:
M_{\boldsymbol{X}}(t_{1},t_{2})=M_{X_{1}}(t_{1})\,M_{X_{2}}(t_{2}),\quad\forall t_{1},t_{2}.
No nosso caso:
M_{\boldsymbol{X}}(t_{1},t_{2}) =\exp\!\left\{\mu_{1}t_{1}+\mu_{2}t_{2}+\frac{\sigma_{1}^{2}t_{1}^{2}}{2}+\frac{\sigma_{2}^{2}t_{2}^{2}}{2}+\rho\sigma_{1}\sigma_{2}t_{1}t_{2}\right\}.
As marginais que já achamos são
M_{X_{1}}(t_{1})=\exp\!\left\{\mu_{1}t_{1}+\frac{\sigma_{1}^{2}t_{1}^{2}}{2}\right\}, \qquad M_{X_{2}}(t_{2})=\exp\!\left\{\mu_{2}t_{2}+\frac{\sigma_{2}^{2}t_{2}^{2}}{2}\right\}.
Multiplicando M_{X_{1}}(t_{1})M_{X_{2}}(t_{2}) obtém-se exatamente a expressão acima sem o termo cruzado \rho\sigma_{1}\sigma_{2}t_{1}t_{2}. Portanto:
  • Se \rho=0 então o termo cruzado some e a fgm conjunta fatoriza; assim X_{1} e X_{2} são independentes.
  • Se \rho\neq 0 o termo cruzado impede a fatorização, logo X_{1} e X_{2} não são independentes.
Observação adicional (intuitiva): a fgm dada é a fgm de uma normal bivariada; para a normal multivariada a condição \operatorname{Cov}(X_{1},X_{2})=0 (isto é, \rho=0) é também suficiente para independência — aqui isso coincide exatamente com a condição de fatorização acima.

Resposta

Marginais:
M_{X_{1}}(t_{1})=\exp\!\left\{\mu_{1}t_{1}+\dfrac{\sigma_{1}^{2}t_{1}^{2}}{2}\right\}
M_{X_{2}}(t_{2})=\exp\!\left\{\mu_{2}t_{2}+\dfrac{\sigma_{2}^{2}t_{2}^{2}}{2}\right\}
Médias:
\mathbb{E}[X_{1}]=\mu_{1}
\mathbb{E}[X_{2}]=\mu_{2}
Variâncias:
\operatorname{Var}(X_{1})=\sigma_{1}^{2}
\operatorname{Var}(X_{2})=\sigma_{2}^{2}
Covariância:
\operatorname{Cov}(X_{1},X_{2})=\rho\sigma_{1}\sigma_{2}
Independência:
X_{1} e X_{2} são independentes se, e somente se, \rho=0.

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