\forall \boldsymbol{t} \in \mathbb{R}^{2}.
i) Encontre as fgm marginais de X_{1} e X_{2}.
ii) Determine para i=1,2 \mathbb{E}\left[X_{i}\right], \operatorname{Var}\left[X_{i}\right] e \operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right) usando propriedades da função geradora de momentos.
iii) Usando a função geradora de momentos conjunta, argumente se X_{1} e X_{2} são independentes.
Passo 1
O enunciado dá a função geradora de momentos (fgm) conjunta de \boldsymbol{X}=(X_{1},X_{2}):
O que o enunciado pede:
i) Encontrar as fgm marginais de X_{1} e X_{2}.
ii) Determinar, para i=1,2, \mathbb{E}[X_{i}], \operatorname{Var}(X_{i}) e \operatorname{Cov}(X_{1},X_{2}) usando propriedades da função geradora de momentos.
iii) Usando a fgm conjunta, argumentar se X_{1} e X_{2} são independentes.
Informações relevantes dadas (pegar do enunciado):
Parâmetros \mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2} e \rho aparecem explicitamente na fgm.
A fgm é uma exponencial quadrática em t_{1},t_{2}, definida para todo \mathbb{R}^{2}.
Passo 2
Propriedade básica de fgm multivariada (útil para marginais):
A fgm marginal de X_{1} é obtida tomando t_{2}=0: M_{X_{1}}(t_{1})=M_{\boldsymbol{X}}(t_{1},0).
A fgm marginal de X_{2} é obtida tomando t_{1}=0: M_{X_{2}}(t_{2})=M_{\boldsymbol{X}}(0,t_{2}).
é exatamente a fgm da distribuição normal \mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}). Portanto as marginais são normais com os parâmetros indicados.
Passo 3
Explicar como obter esperanças e covariância a partir da fgm (fórmulas e motivo):
Para uma fgm multivariada M_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{t})= \mathbb{E}\big[e^{t_{1}X_{1}+t_{2}X_{2}}\big], as derivadas parciais no ponto \boldsymbol{t}=\boldsymbol{0} dão momentos. Em particular:
\operatorname{Var}(X_{i}) = \mathbb{E}[X_{i}^{2}]-\mathbb{E}[X_{i}]^{2}, e \mathbb{E}[X_{i}^{2}]=\left.\dfrac{\partial^{2} M_{\boldsymbol{X}}}{\partial t_{i}^{2}}\right|_{\boldsymbol{t}=\boldsymbol{0}}.
Uma forma mais prática: trabalhar com a função geradora cumulante (log-fgm)K(\boldsymbol{t})=\log M_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{t}),cujas derivadas em \boldsymbol{0} são cumulantes: primeira derivada dá a média, segundas derivadas dão covariâncias.
Usando que \frac{\partial^{2}M}{\partial t_{1}^{2}}=\left(\frac{\partial^{2}K}{\partial t_{1}^{2}}+\Big(\frac{\partial K}{\partial t_{1}}\Big)^{2}\right)M e avaliando em \boldsymbol{0} (onde M(\boldsymbol{0})=1 e \left.\frac{\partial K}{\partial t_{1}}\right|_{\boldsymbol{0}}=\mu_{1}):
Argumento sobre independência usando a fgm conjunta:
Critério geral: variáveis aleatórias X_{1} e X_{2} são independentes se, e somente se, a fgm conjunta fatoriza em produto das marginais para todos t_{1},t_{2}:
Multiplicando M_{X_{1}}(t_{1})M_{X_{2}}(t_{2}) obtém-se exatamente a expressão acima sem o termo cruzado \rho\sigma_{1}\sigma_{2}t_{1}t_{2}. Portanto:
Se \rho=0 então o termo cruzado some e a fgm conjunta fatoriza; assim X_{1} e X_{2} são independentes.
Se \rho\neq 0 o termo cruzado impede a fatorização, logo X_{1} e X_{2} não são independentes.
Observação adicional (intuitiva): a fgm dada é a fgm de uma normal bivariada; para a normal multivariada a condição \operatorname{Cov}(X_{1},X_{2})=0 (isto é, \rho=0) é também suficiente para independência — aqui isso coincide exatamente com a condição de fatorização acima.