Considere a definição:
Seja \boldsymbol{X}=\left(\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}\right) um vetor aleatório discreto de dimensão n \times 1, cuja função de probabilidade é dada por \mathbb{P}[\boldsymbol{X}=\boldsymbol{x}], \boldsymbol{X}_{1} um subvetor de dimensão m e \boldsymbol{X}_{2} o subvetor complementar de \boldsymbol{X}_{1} com relação a \boldsymbol{X}. Chamamos função de de probabilidade condicional do subvetor \boldsymbol{X}_{2} dado o vetor \boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}, a função \mathbb{P}\left[\cdot \mid \boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\right]: \mathbb{R}^{n-m} \mapsto[0,1] definida por:
\mathbb{P}\left[\boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2} \mid \boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\right]=\frac{\mathbb{P}\left[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}\right]}{\mathbb{P}\left[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\right]}=\frac{\mathbb{P}[\boldsymbol{X}=\boldsymbol{x}]}{\mathbb{P}\left[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\right]},
desde que \mathbb{P}\left[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\right]>0, i.e., \forall \boldsymbol{x}_{1} \in \mathcal{X}_{1}.
A função de probabilidade condicional é função apenas de \boldsymbol{X}_{2}, dado que \boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1} é fixado. Mostre que \mathbb{P}\left[\boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2} \mid \boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\right] é uma legítima função de probabilidade.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Um vetor aleatório discreto \boldsymbol{X}=(\boldsymbol{X}_{1},\boldsymbol{X}_{2}) com função de probabilidade conjunta \mathbb{P}[\boldsymbol{X}=\boldsymbol{x}].
  • O subvetor \boldsymbol{X}_{1} tem dimensão m e \boldsymbol{X}_{2} tem dimensão n-m.
  • A probabilidade condicional, definida para \boldsymbol{x}_{1} tal que \mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\big]>0, é
\mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}\mid\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\big] = \frac{\mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}\big]}{\mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\big]}.
O que se pede: mostrar que, para cada \boldsymbol{x}_{1} com \mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\big]>0, a função
\mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}\mid\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\big] é uma legítima função de probabilidade sobre \boldsymbol{X}_{2}. Ou seja, precisamos provar as duas propriedades essenciais de uma pmf discreta:
  1. não-negatividade para todo \boldsymbol{x}_{2};
  2. soma (ou soma infinita, se for contável) sobre todos os \boldsymbol{x}_{2} igual a 1.

Passo 2

Vou explicar os conceitos que usarei (pequena aula para fixar):
  • Propriedade básica das probabilidades: para qualquer evento (ou qualquer ponto no caso discreto) vale \mathbb{P}[\cdot]\ge 0. Em particular, \mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}\big]\ge 0 para todo \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}.
  • Marginalização (soma das probabilidades conjuntas): para variáveis discretas, a probabilidade marginal de \boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1} é obtida somando a probabilidade conjunta sobre todos os possíveis valores de \boldsymbol{X}_{2}:
\mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\big] = \sum_{\boldsymbol{x}_{2}}\mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}\big].
Isto é uma forma discreta da “lei total das probabilidades”: fixando \boldsymbol{x}_{1}, os eventos \{\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}\} para todos os \boldsymbol{x}_{2} são disjuntos e sua união é o evento \{\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\}.

Passo 3

Propriedade 1 — não-negatividade.
  • Pelo ponto anterior, para todo \boldsymbol{x}_{2} tem-se \mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}\big]\ge 0.
  • O denominador \mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\big] é estritamente positivo por hipótese do enunciado.
  • Portanto, para todo \boldsymbol{x}_{2},
\mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}\mid\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\big] = \frac{\mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}\big]}{\mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\big]}\ge 0.
Explicando com palavras: dividir um número não-negativo por um número positivo dá um número não-negativo — simples, mas essencial.

Passo 4

Propriedade 2 — soma total igual a 1.
Calculemos a soma da probabilidade condicional sobre todos os \boldsymbol{x}_{2}:
\sum_{\boldsymbol{x}_{2}} \mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}\mid\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\big] = \sum_{\boldsymbol{x}_{2}} \frac{\mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}\big]}{\mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\big]}.
Como o denominador não depende de \boldsymbol{x}_{2}, pode-se colocá-lo fora da soma:
\sum_{\boldsymbol{x}_{2}} \mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}\mid\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\big] = \frac{1}{\mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\big]} \sum_{\boldsymbol{x}_{2}} \mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}\big].
Pela identidade de marginalização escrita no Passo 2, a soma no numerador é precisamente \mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\big]. Assim
\sum_{\boldsymbol{x}_{2}} \mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}\mid\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\big] = \frac{\mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\big]}{\mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\big]} =1.
Comentário didático: essa é a razão pela qual falamos que a condicional “re-normaliza” a distribuição conjunta quando fixamos \boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1} — distribuímos a probabilidade total \mathbb{P}[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}] entre os possíveis \boldsymbol{x}_{2}, e ao dividir por essa massa obtemos uma soma unitária.

Passo 5

Observações adicionais úteis para prova e prova em prova:
  • Domínio e suporte: a função condicional é de fato uma função de \boldsymbol{x}_{2} (com \boldsymbol{x}_{1} fixo). Ela vale zero para valores de \boldsymbol{x}_{2} que não aparecem no suporte conjunto; isto é, se \mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}\big]=0, então \mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}\mid\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\big]=0.
  • Exemplo rápido e concreto para fixar: considere dois lançamentos de moeda justos. Tome \boldsymbol{X}_{1} = resultado do primeiro lançamento ( H ou T) e \boldsymbol{X}_{2} = resultado do segundo. A distribuição conjunta atribui probabilidade 1/4 para cada dos quatro pares (H,H),(H,T),(T,H),(T,T). Para \boldsymbol{x}_{1}=H tem-se \mathbb{P}[\boldsymbol{X}_{1}=H]=1/2 e, por exemplo,
\mathbb{P}[\boldsymbol{X}_{2}=H\mid\boldsymbol{X}_{1}=H]=\frac{\mathbb{P}[(H,H)]}{\mathbb{P}[\boldsymbol{X}_{1}=H]}=\frac{1/4}{1/2}=1/2,
e \mathbb{P}[\boldsymbol{X}_{2}=T\mid\boldsymbol{X}_{1}=H]=1/2. A soma é 1 e cada termo é não-negativo, exatamente como provado acima.

Resposta

Sim. Para todo \boldsymbol{x}_{1} com \mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\big]>0 vale \mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}\mid\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\big]\ge 0 para todo \boldsymbol{x}_{2} e
\sum_{\boldsymbol{x}_{2}}\mathbb{P}\big[\boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}\mid\boldsymbol{X}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\big]=1,
logo é uma legítima função de probabilidade.

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