Considere a definição:
Seja
um vetor aleatório discreto de dimensão
, cuja função de probabilidade é dada por
um subvetor de dimensão
e
o subvetor complementar de
com relação a
. Chamamos função de de probabilidade condicional do subvetor
dado o vetor
, a função
definida por:
desde que
, i.e.,
.
A função de probabilidade condicional é função apenas de
, dado que
é fixado. Mostre que
é uma legítima função de probabilidade.
A função de probabilidade condicional é função apenas de
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Um vetor aleatório discreto
com função de probabilidade conjunta . - O subvetor
tem dimensão e tem dimensão . - A probabilidade condicional, definida para
tal que , é
O que se pede: mostrar que, para cada
com
, a função
é uma legítima função de probabilidade sobre
. Ou seja, precisamos provar as duas propriedades essenciais de uma pmf discreta:
- não-negatividade para todo
; - soma (ou soma infinita, se for contável) sobre todos os
igual a .
Passo 2
Vou explicar os conceitos que usarei (pequena aula para fixar):
- Propriedade básica das probabilidades: para qualquer evento (ou qualquer ponto no caso discreto) vale
. Em particular, para todo . - Marginalização (soma das probabilidades conjuntas): para variáveis discretas, a probabilidade marginal de
é obtida somando a probabilidade conjunta sobre todos os possíveis valores de :
Isto é uma forma discreta da “lei total das probabilidades”: fixando
, os eventos
para todos os
são disjuntos e sua união é o evento
.
Passo 3
Propriedade 1 — não-negatividade.
- Pelo ponto anterior, para todo
tem-se . - O denominador
é estritamente positivo por hipótese do enunciado. - Portanto, para todo
,
Explicando com palavras: dividir um número não-negativo por um número positivo dá um número não-negativo — simples, mas essencial.
Passo 4
Propriedade 2 — soma total igual a
.
Calculemos a soma da probabilidade condicional sobre todos os :
Calculemos a soma da probabilidade condicional sobre todos os
Como o denominador não depende de
, pode-se colocá-lo fora da soma:
Pela identidade de marginalização escrita no Passo 2, a soma no numerador é precisamente
. Assim
Comentário didático: essa é a razão pela qual falamos que a condicional “re-normaliza” a distribuição conjunta quando fixamos
— distribuímos a probabilidade total
entre os possíveis
, e ao dividir por essa massa obtemos uma soma unitária.
Passo 5
Observações adicionais úteis para prova e prova em prova:
- Domínio e suporte: a função condicional é de fato uma função de
(com fixo). Ela vale zero para valores de que não aparecem no suporte conjunto; isto é, se , então . - Exemplo rápido e concreto para fixar: considere dois lançamentos de moeda justos. Tome
= resultado do primeiro lançamento ( ou ) e = resultado do segundo. A distribuição conjunta atribui probabilidade para cada dos quatro pares . Para tem-se e, por exemplo,
e
. A soma é
e cada termo é não-negativo, exatamente como provado acima.
Resposta
Sim. Para todo
com
vale
para todo
e
logo é uma legítima função de probabilidade.