Mingau e Bidu decidiram fazer uma corrida de 120 metros para impressionar Magali e Franjinha. As velocidades variam ao longo do tempo de acordo com as funções:
onde
é a velocidade de Mingau e
é a velocidade de Bidu. O tempo é dado em segundos e a velocidade em metros por segundo.
a) Calcule o deslocamento de cada corredor no instante
.
b) Considerando que a pista tem 120 metros, calcule em que instante de tempo cada um deles (Bidu e Mingau) chegam na linha de chegada. Quem chega primeiro? Justifique.
a) Calcule o deslocamento de cada corredor no instante
b) Considerando que a pista tem 120 metros, calcule em que instante de tempo cada um deles (Bidu e Mingau) chegam na linha de chegada. Quem chega primeiro? Justifique.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
-
Dados (pegos do enunciado):
- A velocidade de Mingau é
para . - A velocidade de Bidu é
para . - A pista tem comprimento
. - Assume-se que ambos começam da mesma linha de partida em
, ou seja deslocamento inicial .
- A velocidade de Mingau é
-
Perguntas:
a) Calcular o deslocamento de cada corredor no instante.
b) Determinar em que instante cada um chega aose dizer quem chega primeiro (justificar).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática): deslocamento a partir da velocidade.
- A velocidade é a taxa de variação do deslocamento em função do tempo. Em símbolos,
. - Para obter o deslocamento acumulado entre
e usa-se a integral definida: Se , então . - Dois casos simples:
- Se a velocidade é constante
, então (a integral de uma constante é a constante vezes ). - Se a velocidade é uma função polinomial como
, sua primitiva (antiderivada) é uma função polinomial de grau mais alto; por exemplo, uma primitiva de é , e de é . Assim a primitiva de é .
- Se a velocidade é constante
Vou aplicar isso passo a passo para cada corredor.
Passo 3
Deslocamento de Mingau no instante
.
- Como
é constante e , vale - Avaliando em
: - Interpretação simples: Mingau corre a
durante , logo percorre .
Passo 4
Deslocamento de Bidu no instante
.
- Escrevendo a fórmula pela integral:
- Encontrar uma primitiva de
. Como explicado, a primitiva é porque - Então
- Avaliando em
: - Interpretação: Bidu começou mais devagar, acelerando linearmente; em
ele percorreu .
Passo 5
Agora vamos achar o instante em que cada um atinge
. Primeiro Mingau.
- Para Mingau usamos
. Queremos , então - Portanto Mingau alcança a linha de chegada em
.
Passo 6
Agora Bidu: usar
e resolver
.
- Montamos a equação quadrática:
- Usamos a fórmula quadrática (a fórmula geral para raízes de
é ). Aqui , , . - Calcular o discriminante:
Note que . - Então as raízes são
Isso dá duas soluções: - Descartamos
porque estamos no intervalo de tempo a partir de (não faz sentido físico aqui). Portanto Bidu chega em .
Passo 7
Comparação e interpretação final (justificação intuitiva):
- Ambos chegam em
. Logo há um empate na chegada. - Comentário adicional para entender por que isso acontece: Mingau corre constantemente a
e assim percorre . Bidu começa mais lento ( ) mas acelera linearmente: . Em temos , isto é, a partir desse instante Bidu passa a ter velocidade igual ou maior que Mingau, e acumulando a diferença de velocidade ao longo do tempo ele alcança exatamente os mesmos no mesmo instante . O cálculo exato mostrou isso pela solução da equação quadrática.
Resposta
a) Deslocamento de Mingau em
:
.
a) Deslocamento de Bidu em :
.
a) Deslocamento de Bidu em
b) Tempo de chegada de Mingau:
.
b) Tempo de chegada de Bidu: .
Resultado: empate — ambos chegam juntos em .
b) Tempo de chegada de Bidu:
Resultado: empate — ambos chegam juntos em