Mingau e Bidu decidiram fazer uma corrida de 120 metros para impressionar Magali e Franjinha. As velocidades variam ao longo do tempo de acordo com as funções:
v_{M}(t)=12, \quad v_{B}(t)=2 t+2, \quad 0 \leq t \leq 10 \mathrm{~s}
onde v_{M} é a velocidade de Mingau e v_{B} é a velocidade de Bidu. O tempo é dado em segundos e a velocidade em metros por segundo.
a) Calcule o deslocamento de cada corredor no instante t=6 \mathrm{~s}.
b) Considerando que a pista tem 120 metros, calcule em que instante de tempo cada um deles (Bidu e Mingau) chegam na linha de chegada. Quem chega primeiro? Justifique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • A velocidade de Mingau é \,v_{M}(t)=12\\ \text{m/s}\, para 0\le t\le 10\\ \text{s}.
    • A velocidade de Bidu é \,v_{B}(t)=2t+2\\ \text{m/s}\, para 0\le t\le 10\\ \text{s}.
    • A pista tem comprimento \,120\\ \text{m}\,.
    • Assume-se que ambos começam da mesma linha de partida em t=0, ou seja deslocamento inicial \,s(0)=0.
  • Perguntas:
    a) Calcular o deslocamento de cada corredor no instante \,t=6\\ \text{s}.
    b) Determinar em que instante cada um chega aos \,120\\ \text{m} e dizer quem chega primeiro (justificar).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática): deslocamento a partir da velocidade.
  • A velocidade é a taxa de variação do deslocamento em função do tempo. Em símbolos, \,v(t)=\dfrac{ds}{dt}\,.
  • Para obter o deslocamento acumulado entre \,t=a\, e \,t=b\, usa-se a integral definida: s(b)-s(a)=\int_{a}^{b} v(t)\,dt.Se s(0)=0, então s(t)=\int_{0}^{t} v(\tau)\,d\tau.
  • Dois casos simples:
    • Se a velocidade é constante \,v(t)=v_0, então \,s(t)=v_0 t (a integral de uma constante é a constante vezes t).
    • Se a velocidade é uma função polinomial como \,v(t)=2t+2, sua primitiva (antiderivada) é uma função polinomial de grau mais alto; por exemplo, uma primitiva de \,2t é \,t^2, e de \,2 é \,2t. Assim a primitiva de \,2t+2 é \,t^2+2t.
Vou aplicar isso passo a passo para cada corredor.

Passo 3

Deslocamento de Mingau no instante \,t=6\\ \text{s}.
  • Como \,v_{M}(t)=12\\ \text{m/s} é constante e s_M(0)=0, vale s_M(t)=\int_{0}^{t}12\,d\tau = 12t.
  • Avaliando em \,t=6: s_M(6)=12\cdot 6=72\\ \text{m}.
  • Interpretação simples: Mingau corre a 12\\ \text{m/s} durante 6\\ \text{s}, logo percorre 12\times6=72\\ \text{m}.

Passo 4

Deslocamento de Bidu no instante \,t=6\\ \text{s}.
  • Escrevendo a fórmula pela integral: s_B(t)=\int_{0}^{t} (2\tau+2)\,d\tau.
  • Encontrar uma primitiva de 2\tau+2. Como explicado, a primitiva é \tau^{2}+2\tau porque \frac{d}{d\tau}\bigl(\tau^{2}+2\tau\bigr)=2\tau+2.
  • Então s_B(t)=\bigl[\tau^{2}+2\tau\bigr]_{0}^{t}=t^{2}+2t- (0^{2}+2\cdot 0)=t^{2}+2t.
  • Avaliando em \,t=6: s_B(6)=6^{2}+2\cdot 6=36+12=48\\ \text{m}.
  • Interpretação: Bidu começou mais devagar, acelerando linearmente; em 6\\ \text{s} ele percorreu 48\\ \text{m}.

Passo 5

Agora vamos achar o instante em que cada um atinge \,120\\ \text{m}. Primeiro Mingau.
  • Para Mingau usamos s_M(t)=12t. Queremos s_M(t)=120, então 12t=120 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{120}{12}=10\\ \text{s}.
  • Portanto Mingau alcança a linha de chegada em \,t=10\\ \text{s}.

Passo 6

Agora Bidu: usar s_B(t)=t^{2}+2t e resolver t^{2}+2t=120.
  • Montamos a equação quadrática: t^{2}+2t-120=0.
  • Usamos a fórmula quadrática (a fórmula geral para raízes de at^{2}+bt+c=0 é t=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}). Aqui a=1, b=2, c=-120.
  • Calcular o discriminante: \Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4\cdot1\cdot(-120)=4+480=484.Note que \,484=22^{2}.
  • Então as raízes são t=\frac{-2\pm\sqrt{484}}{2}=\frac{-2\pm 22}{2}.Isso dá duas soluções: t_{1}=\frac{-2+22}{2}=\frac{20}{2}=10\\ \text{s}, \qquad t_{2}=\frac{-2-22}{2}=\frac{-24}{2}=-12\\ \text{s}.
  • Descartamos \,t=-12\\ \text{s} porque estamos no intervalo de tempo a partir de 0 (não faz sentido físico aqui). Portanto Bidu chega em \,t=10\\ \text{s}.

Passo 7

Comparação e interpretação final (justificação intuitiva):
  • Ambos chegam em \,t=10\\ \text{s}. Logo há um empate na chegada.
  • Comentário adicional para entender por que isso acontece: Mingau corre constantemente a \,12\\ \text{m/s} e assim percorre 12\cdot 10=120\\ \text{m}. Bidu começa mais lento ( v_B(0)=2\\ \text{m/s}) mas acelera linearmente: v_B(t)=2t+2. Em t=5\\ \text{s} temos v_B(5)=2\cdot5+2=12\\ \text{m/s}, isto é, a partir desse instante Bidu passa a ter velocidade igual ou maior que Mingau, e acumulando a diferença de velocidade ao longo do tempo ele alcança exatamente os mesmos 120\\ \text{m} no mesmo instante t=10\\ \text{s}. O cálculo exato mostrou isso pela solução da equação quadrática.

Resposta

a) Deslocamento de Mingau em t=6\\ \text{s}: s_M(6)=72\\ \text{m}.
a) Deslocamento de Bidu em t=6\\ \text{s}: s_B(6)=48\\ \text{m}.
b) Tempo de chegada de Mingau: t=10\\ \text{s}.
b) Tempo de chegada de Bidu: t=10\\ \text{s}.
Resultado: empate — ambos chegam juntos em 10\\ \text{s}.

Exercícios relacionados