Suponha que a função U(x, y, z)=x y z represente o índice de utilidade das mercadorias A , B e C nas quantidades x, y e z, respectivamente, que uma determinada pessoa semanalmente ingere. Se R , e 3,00 são os respectivos preços unitários de R e C, e a despesa semanal para as mercadorias está orçada em R são os respectivos preços unitários de , entâo quantas unidades de cada mercadoria devem ser compradas por semana para maximizar e C, e a despesa semanal para as mercadorias está orçada em R ? (Pode ser vendida meia unidade de cada tipo de mercadoria.)

Passo 1

O problema pede para maximizar a utilidade U(x,y,z)=xyz sujeita ao orçamento semanal 2x+3y+4z=90, sabendo que x, y e z são quantidades das mercadorias A, B e C com respectivos preços unitários R$2,00; R$3,00; R$4,00. O conteúdo é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange, precisaremos montar a função Lagrangiana e usar derivadas parciais.

Passo 2

Definimos a Lagrangiana
L(x,y,z,lambda)=x y z + lambdal(90 - 2x - 3y - 4zr)
A teoria de Lagrange diz que, no ótimo, o gradiente de xyz é paralelo ao gradiente da restrição.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Lpartial x=yz - 2lambda=0, partial Lpartial y=xz - 3lambda=0, partial Lpartial z=xy - 4lambda=0, partial Lpartiallambda=90 - 2x - 3y - 4z=0

Passo 4

Das três primeiras equações obtemos relações entre x, y e z. Por exemplo:
yzxz=2lambda3lambdaimpliesyx=23implies y=23x,
xyyz=4lambda2lambdaimpliesxz=2implies z=x2

Passo 5

Substituímos y=2x/3 e z=x/2 na restrição orçamentária 2x+3y+4z=90:
2x + 3cdot2x3 + 4cdotx2 = 2x + 2x + 2x = 6x = 90
Logo, x=15.

Passo 6

Calculamos y e z usando as relações encontradas:
y=23cdot15=10, z=12cdot15=7,5

Resposta

As quantidades ótimas são x=15 unidades de A, y=10 unidades de B e z=7,5 unidades de C por semana.

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