Suponha que a função
represente o índice de utilidade das mercadorias A , B e C nas quantidades
e
, respectivamente, que uma determinada pessoa semanalmente ingere. Se
, e
são os respectivos preços unitários de
e C, e a despesa semanal para as mercadorias está orçada em R
, entâo quantas unidades de cada mercadoria devem ser compradas por semana para maximizar
? (Pode ser vendida meia unidade de cada tipo de mercadoria.)
Passo 1
O problema pede para maximizar a utilidade U(x,y,z)=xyz sujeita ao orçamento semanal 2x+3y+4z=90, sabendo que x, y e z são quantidades das mercadorias A, B e C com respectivos preços unitários R$2,00; R$3,00; R$4,00. O conteúdo é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange, precisaremos montar a função Lagrangiana e usar derivadas parciais.
Passo 2
Definimos a Lagrangiana
A teoria de Lagrange diz que, no ótimo, o gradiente de xyz é paralelo ao gradiente da restrição.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 4
Das três primeiras equações obtemos relações entre x, y e z. Por exemplo:
Passo 5
Substituímos y=2x/3 e z=x/2 na restrição orçamentária 2x+3y+4z=90:
Logo, x=15.
Passo 6
Calculamos y e z usando as relações encontradas:
Resposta
As quantidades ótimas são x=15 unidades de A, y=10 unidades de B e z=7,5 unidades de C por semana.