Minimize f(x, y)=3 x+y+10

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x,y)=3x+y+10 e queremos encontrar seu valor mínimo sem nenhuma restrição sobre (x,y). O conteúdo aqui é otimização sem restrições de funções lineares, e vamos precisar usar o conceito de gradiente e o fato de que funções lineares não têm pontos críticos internos.

Passo 2

Cálculo do gradiente: para achar candidatos a mínimo em problemas sem restrição, calculamos o gradiente
$$\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=(3,1).
$$
Como esse vetor é constante e diferente de zero, não existe ponto em que nabla f(x,y)=(partial fpartial x,partial fpartial y)=(3,1) , ou seja, não há ponto crítico interno.

Passo 3

Mostrando que f é não limitada inferiormente: funções lineares sem restrições são tipicamente não limitadas. Para ver isso, escolhemos uma direção onde f decresce sem parar. Por exemplo, defina
x=-3t, y=-t, tto+infty
Então
f(-3t,-t)=3(-3t)+(-t)+10=-10t+10to -infty quando tto+infty
Isso mostra que f pode ficar arbitrariamente negativa.

Passo 4

Conclusão: como não há ponto crítico e f tende a -infty em certas direções, a função não possui valor mínimo no plano e seu ínfimo é -infty.

Resposta

A função é não limitada inferiormente, não existe mínimo e o ínfimo de f é -\infty.

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