Minimize
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função f(x,y)=3x+y+10 e queremos encontrar seu valor mínimo sem nenhuma restrição sobre (x,y). O conteúdo aqui é otimização sem restrições de funções lineares, e vamos precisar usar o conceito de gradiente e o fato de que funções lineares não têm pontos críticos internos.
Passo 2
Cálculo do gradiente: para achar candidatos a mínimo em problemas sem restrição, calculamos o gradiente
$$\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=(3,1).
$$
Como esse vetor é constante e diferente de zero, não existe ponto em que , ou seja, não há ponto crítico interno.
Como esse vetor é constante e diferente de zero, não existe ponto em que
Passo 3
Mostrando que f é não limitada inferiormente: funções lineares sem restrições são tipicamente não limitadas. Para ver isso, escolhemos uma direção onde f decresce sem parar. Por exemplo, defina
Então
Isso mostra que f pode ficar arbitrariamente negativa.
Passo 4
Conclusão: como não há ponto crítico e f tende a
em certas direções, a função não possui valor mínimo no plano e seu ínfimo é
.
Resposta
A função é não limitada inferiormente, não existe mínimo e o ínfimo de f é -\infty.