Minimize f(x, y, z)=2 x^2+3 y^2+2 z^2
Restrição: x+y+z-24=0

Passo 1

O enunciado pede para minimizar a função de três variáveis
f(x,y,z)=2 x^{2}+3 y^{2}+2 z^{2}
com a restrição linear x+y+z−24=0. O conteúdo aqui é otimização com restrição de igualdade, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

A ideia dos multiplicadores de Lagrange é converter o problema restrito em um sistema de equações sem restrição. Definimos o Lagrangiano
L(x,y,z,lambda)=2 x^2+3 y^2+2 z^2-lambda(x+y+z-24)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar o ponto crítico:
partial Lpartial x=4x-lambda=0implies x=lambda4,
partial Lpartial y=6y-lambda=0implies y=lambda6,
partial Lpartial z=4z-lambda=0implies z=lambda4

Passo 4

Agora aplicamos a restrição x+y+z=24 substituindo as expressões em função de lambda:
lambda4+lambda6+lambda4=24
Somando os coeficientes temos tfrac14+tfrac16+tfrac14=tfrac3+2+312=tfrac812=tfrac23, logo
23lambda=24implieslambda=36

Passo 5

Substituindo de volta em x, y e z:
x=364=9, y=366=6, z=364=9
Finalmente, calculamos o valor mínimo:
f(9,6,9)=2cdot9^2+3cdot6^2+2cdot9^2=162+108+162=432

Resposta

O valor mínimo de f é 432, obtido em (x,y,z)=(9,6,9).

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