Minimize
Restrição:
Restrição:
Passo 1
O enunciado pede para minimizar a função de três variáveis
f(x,y,z)=2 x^{2}+3 y^{2}+2 z^{2}
com a restrição linear x+y+z−24=0. O conteúdo aqui é otimização com restrição de igualdade, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.
f(x,y,z)=2 x^{2}+3 y^{2}+2 z^{2}
com a restrição linear x+y+z−24=0. O conteúdo aqui é otimização com restrição de igualdade, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
A ideia dos multiplicadores de Lagrange é converter o problema restrito em um sistema de equações sem restrição. Definimos o Lagrangiano
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar o ponto crítico:
Passo 4
Agora aplicamos a restrição x+y+z=24 substituindo as expressões em função de
:
Somando os coeficientes temos
, logo
Passo 5
Substituindo de volta em x, y e z:
Finalmente, calculamos o valor mínimo:
Resposta
O valor mínimo de f é 432, obtido em (x,y,z)=(9,6,9).