Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos da função f sujeita a duas restrições:
c) f(x, y, z)=x+y+z sujeita a x-y=1 e x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

Vamos otimizar a função f(x,y,z)=x+y+z sujeita às restrições x−y−1=0 e x²+y²+z²−1=0 usando multiplicadores de Lagrange. O conteúdo aqui envolve o método de Lagrange com duas restrições, e vamos precisar montar o lagrangiano com dois multiplicadores λ e μ e resolver ∇f=λ∇g+μ∇h.

Passo 2

Definimos as funções de restrição g(x,y,z)=x−y−1 e h(x,y,z)=x²+y²+z²−1 e construímos o lagrangiano:
L(x,y,z,λ,μ)=x+y+z−λl(x−y−1r)−μl(x^2+y^2+z^2−1r)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
∂L/∂x: 1−λ−2μx=0,
∂L/∂y: 1+λ−2μy=0,
∂L/∂z: 1−2μz=0,
junto com as restrições
x−y=1,
x^2+y^2+z^2=1

Passo 4

Das duas primeiras equações isolamos x e y em função de λ e μ:
x=1−λ2μ, y=1+λ2μ,
da terceira obtemos
z=12μ
Usando x−y=1 achamos
1−λ2μ−1+λ2μ=1implies -2λ2μ=1implies λ=−μ

Passo 5

Substituindo λ=−μ nas expressões de x,y,z e definindo a=1/(2μ) temos:
x=a+tfrac12, y=a−tfrac12, z=a
Impondo x²+y²+z²=1:
(a+tfrac12)^2+(a−tfrac12)^2+a^2=1 implies 3a^2+tfrac12=1implies a^2=tfrac16implies a=±tfrac1raiz6

Passo 6

Logo existem dois pontos críticos:
Para a=+1/√6:
x=tfrac12+tfrac1raiz6, y=−tfrac12+tfrac1raiz6, z=tfrac1raiz6,
Para a=−1/√6:
x=tfrac12−tfrac1raiz6, y=−tfrac12−tfrac1raiz6, z=−tfrac1raiz6

Passo 7

Para decidir máximo e mínimo, calculamos f=x+y+z=3a:
Se a=+1/√6 então f=3/√6=√6/2 (extremo máximo),
Se a=−1/√6 então f=−3/√6=−√6/2 (extremo mínimo).

Resposta

Ponto de máximo: l(tfrac12+tfrac1raiz6,,-tfrac12+tfrac1raiz6,,tfrac1raiz6r) com f=√6/2
Ponto de mínimo: l(tfrac12-tfrac1raiz6,,-tfrac12-tfrac1raiz6,,-tfrac1raiz6r) com f=−√6/2

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