Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos da função
sujeita a duas restrições:
c)
sujeita a
e
.
c)
Passo 1
Vamos otimizar a função f(x,y,z)=x+y+z sujeita às restrições x−y−1=0 e x²+y²+z²−1=0 usando multiplicadores de Lagrange. O conteúdo aqui envolve o método de Lagrange com duas restrições, e vamos precisar montar o lagrangiano com dois multiplicadores λ e μ e resolver ∇f=λ∇g+μ∇h.
Passo 2
Definimos as funções de restrição g(x,y,z)=x−y−1 e h(x,y,z)=x²+y²+z²−1 e construímos o lagrangiano:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
junto com as restrições
Passo 4
Das duas primeiras equações isolamos x e y em função de λ e μ:
da terceira obtemos
Usando x−y=1 achamos
Passo 5
Substituindo λ=−μ nas expressões de x,y,z e definindo a=1/(2μ) temos:
Impondo x²+y²+z²=1:
Passo 6
Logo existem dois pontos críticos:
Para a=+1/√6:
Para a=+1/√6:
Para a=−1/√6:
Passo 7
Para decidir máximo e mínimo, calculamos f=x+y+z=3a:
Se a=+1/√6 então f=3/√6=√6/2 (extremo máximo),
Se a=−1/√6 então f=−3/√6=−√6/2 (extremo mínimo).
Se a=+1/√6 então f=3/√6=√6/2 (extremo máximo),
Se a=−1/√6 então f=−3/√6=−√6/2 (extremo mínimo).
Resposta
Ponto de máximo:
com f=√6/2
Ponto de mínimo:
com f=−√6/2