O Ministério da Defesa pretende realizar um novo estudo sobre o nível de interesse das mulheres em atuar no Exército brasileiro. Considerando pesquisas anteriores, estimase que 2 \% das mulheres estejam interessadas em buscar tal opção. Qual deverá ser o tamanho mínimo da amostra para que, para o intervalo de confiança de 97 \%, a margem de erro da estimativa seja de no máximo 0.7 pontos percentuais? (Considerar a aproximação indicada na equação disponível no conjunto de fórmulas fornecidas para a prova.)
(a) 1978
(b) 1414
(c) 1884
(d) 2072
(e) 1507

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pede-se o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção de mulheres interessadas, com intervalo de confiança de 97\% e margem de erro de no máximo 0{,}7 pontos percentuais.
  • Informações dadas:
    • estimativa prévia da proporção: \;p=0{,}02 (ou seja, 2\%);
    • nível de confiança: \;97\%;
    • margem de erro desejada: \;0{,}7 pontos percentuais =0{,}007 (em proporção).
  • Fórmula aproximada (a indicada no conjunto de fórmulas da prova) para o tamanho da amostra ao estimar uma proporção:
n \approx \frac{z_{\alpha/2}^{2}\,p(1-p)}{E^{2}},
onde:
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente a 1-\alpha/2;
  • p é a proporção estimada;
  • E é a margem de erro (em unidades de proporção, aqui 0{,}007);
  • \alpha é 1 menos o nível de confiança (aqui \alpha=0{,}03).

Passo 2

Determinar z_{\alpha/2}:
  • O nível de confiança é 97\%, logo \alpha = 1-0{,}97 = 0{,}03 e \alpha/2 = 0{,}015.
  • Precisamos do quantil z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}985}, isto é, o valor de z tal que P(Z \le z)=0{,}985 para Z\sim N(0,1).
  • Usando tabela da normal padrão ou calculadora, encontra-se
z_{0{,}985}\approx 2{,}1701.

Passo 3

Calcular os componentes da fórmula e aplicar:
  • Primeiro calcule p(1-p):
p(1-p)=0{,}02\cdot(1-0{,}02)=0{,}02\cdot0{,}98=0{,}0196.
  • Calcule z_{\alpha/2}^{2}:
z_{0{,}985}^{2}\approx(2{,}1701)^{2}\approx 4{,}7089.
  • Produto no numerador:
z_{\alpha/2}^{2}\,p(1-p)\approx 4{,}7089\cdot0{,}0196 \approx 0{,}09229444.
  • Calcula-se E^{2}:
E^{2}=(0{,}007)^{2}=0{,}000049.
  • Agora a fórmula:
n \approx \frac{0{,}09229444}{0{,}000049}\approx 1883{,}56.

Passo 4

Interpretação do resultado e arredondamento:
  • O valor obtido n\approx 1883{,}56 é a amostra teórica; como o tamanho da amostra deve ser um inteiro e para garantir que a margem de erro seja no máximo a especificada, deve-se sempre arredondar para cima (ceiling).
  • Portanto obtém-se o menor inteiro n que satisfaz a condição (verifique as alternativas).

Resposta

(c) 1884

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