Skater Sully is riding a skateboard back and forth on a street that runs north/south. The twice-differentiable function S models Sully’s position on the street, measured by how many meters north he is from his starting point, at time t, measured in seconds from the start of his ride. The table below gives values of S(t) at selected times t.
t
seconds
0 20 30 60
S(t)
meters
0 -5 7 40
For 30 \leq t \leq 60, must there be a time t when Sully’s velocity is 1.1 meters per second? Justify your answer.

Passo 1

O enunciado pede para saber se, no intervalo de tempo 30\le t\le 60, obrigatoriamente existe um instante t em que a velocidade de Sully vale 1{,}1 metros por segundo.
Dados relevantes extraídos do enunciado (da tabela): S(30)=7 e S(60)=40. Também é dado que S é duas vezes diferenciável em todo o intervalo considerado.

Passo 2

Vamos lembrar (com calma) de um resultado que vamos usar: se uma função f é contínua no intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que a derivada em c é igual à taxa média de variação de f no intervalo [a,b]. Em fórmulas:
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Esse resultado garante que a inclinação de alguma tangente (derivada) iguala a inclinação da secante entre os extremos. Não é preciso memorizar o nome agora, o importante é entender a ideia: uma função suave que liga dois pontos tem em algum lugar uma inclinação igual à da reta que une esses pontos.

Passo 3

Explicando o que cada coisa significa no nosso problema: a derivada S'(t) é a velocidade instantânea de Sully (metros por segundo). A hipótese “duas vezes diferenciável” implica que S é diferenciável e contínua em qualquer intervalo fechado/aberto que escolhermos — portanto satisfaz as hipóteses do resultado do passo anterior para [30,60].

Passo 4

Calculemos a taxa média de variação de S no intervalo [30,60] usando os valores da tabela ( S(30)=7 e S(60)=40):
\frac{S(60)-S(30)}{60-30}=\frac{40-7}{30}=\frac{33}{30}=\frac{11}{10}=1{,}1.
Portanto a taxa média de variação de S em [30,60] é 1{,}1 metros por segundo.

Passo 5

Pelas condições satisfeitas (continuidade em [30,60] e diferenciabilidade em (30,60)), o resultado do passo 2 garante que existe pelo menos um t em (30,60) tal que
S'(t)=\frac{S(60)-S(30)}{60-30}=1{,}1\\ \text{m/s}.
Fisicamente: existe um instante entre 30 e 60 segundos em que a velocidade instantânea de Sully é exatamente 1{,}1 m/s.

Resposta

Sim. Existe t\in(30,60) tal que S'(t)=1{,}1\\ \text{m/s}.

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