Skater Sully is riding a skateboard back and forth on a street that runs north/south. The twice-differentiable function
models Sully’s position on the street, measured by how many meters north he is from his starting point, at time
, measured in seconds from the start of his ride. The table below gives values of
at selected times
.
seconds
0
20
30
60
meters
0
-5
7
40
For
, must there be a time
when Sully’s velocity is 1.1 meters per second? Justify your answer.
|
0 | 20 | 30 | 60 | ||
|
0 | -5 | 7 | 40 |
Passo 1
O enunciado pede para saber se, no intervalo de tempo
, obrigatoriamente existe um instante
em que a velocidade de Sully vale
metros por segundo.
Dados relevantes extraídos do enunciado (da tabela): e
. Também é dado que
é duas vezes diferenciável em todo o intervalo considerado.
Dados relevantes extraídos do enunciado (da tabela):
Passo 2
Vamos lembrar (com calma) de um resultado que vamos usar: se uma função
é contínua no intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto
tal que a derivada em
é igual à taxa média de variação de
no intervalo
. Em fórmulas:
Esse resultado garante que a inclinação de alguma tangente (derivada) iguala a inclinação da secante entre os extremos. Não é preciso memorizar o nome agora, o importante é entender a ideia: uma função suave que liga dois pontos tem em algum lugar uma inclinação igual à da reta que une esses pontos.
Passo 3
Explicando o que cada coisa significa no nosso problema: a derivada
é a velocidade instantânea de Sully (metros por segundo). A hipótese “duas vezes diferenciável” implica que
é diferenciável e contínua em qualquer intervalo fechado/aberto que escolhermos — portanto satisfaz as hipóteses do resultado do passo anterior para
.
Passo 4
Calculemos a taxa média de variação de
no intervalo
usando os valores da tabela (
e
):
Portanto a taxa média de variação de
em
é
metros por segundo.
Passo 5
Pelas condições satisfeitas (continuidade em
e diferenciabilidade em
), o resultado do passo 2 garante que existe pelo menos um
em
tal que
Fisicamente: existe um instante entre
e
segundos em que a velocidade instantânea de Sully é exatamente
m/s.
Resposta
Sim. Existe
tal que
.