(Miscelânea) Identifique o tipo de indeterminação e calcule os limites: \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{b x}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Identificar o tipo de indeterminação da expressão \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{b x}.
Calcular esse limite (assumindo a e b constantes reais).
Informações dadas:
A função considerada é f(x)=\left(1+\dfrac{a}{x}\right)^{b x}.
O limite é tomado quando x\to+\infty.
Não foi dada nenhuma restrição explícita sobre a e b além de serem constantes reais.
Passo 2
Análise do comportamento grosseiro (para identificar a indeterminação).
Quando x\to+\infty temos \dfrac{a}{x}\to 0, então a base 1+\dfrac{a}{x}\to 1.
O expoente b x tende a +\infty se b\neq 0 (se b=0, o expoente é zero para todo x e a expressão é identicamente 1).
Portanto, no caso b\neq 0 a expressão apresenta a forma do tipo 1^{\infty} (base → 1, expoente → \infty). Essa é uma indeterminação clássica. Se b=0, não há indeterminação: a expressão vale 1 para todo x.
Passo 3
Estratégia para resolver limites do tipo 1^{\infty}: tomar logaritmo natural para transformar a potência numa multiplicação, calcular o limite do logaritmo e depois exponenciar.
Defina
y(x)=\left(1+\frac{a}{x}\right)^{b x}.
Como a função exponencial é contínua e estritamente positiva, calcular \lim y(x) é equivalente a calcular \lim \ln y(x) e depois aplicar a exponencial. Calculamos
\ln y(x)=b x\ln\!\left(1+\frac{a}{x}\right).
Agora vamos calcular \displaystyle \lim_{x\to+\infty} b x\ln\!\left(1+\frac{a}{x}\right).
Passo 4
Reescrevendo a expressão num formato adequado para usar um limite conhecido.
Faça a substituição auxiliar t=\dfrac{1}{x}. Quando x\to+\infty temos t\to 0^+. Então
b x\ln\!\left(1+\frac{a}{x}\right)=b\cdot\frac{\ln\!\left(1+a t\right)}{t}.
Portanto precisamos do valor de \displaystyle \lim_{t\to 0^+}\frac{\ln(1+a t)}{t}.
Passo 5
Avaliação do limite \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+a t)}{t}.
Use a propriedade limite padrão
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Aqui tome u=a t. Então, se t\to 0 temos u\to 0 e
\frac{\ln(1+a t)}{t}=\frac{\ln(1+u)}{t}=\frac{\ln(1+u)}{u}\cdot a \xrightarrow[t\to 0]{} a\cdot 1 = a.
(Justificação rápida da propriedade: \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1 pode ser obtida por regra de L’Hospital: numerador e denominador tendem a 0, derivadas dão \dfrac{1}{1+u} e 1, cujo limite em u\to0 é 1.)
Portanto
\lim_{x\to+\infty} b x\ln\!\left(1+\frac{a}{x}\right)=b\cdot a = ab.
Passo 6
Retornando da transformação logarítmica: se \ln y(x)\to ab então y(x)\to e^{ab}, pela continuidade da exponencial.
Também conferir casos especiais:
Se b=0 então a expressão vale 1 e e^{ab}=e^{a\cdot 0}=1, consistente.
Se a=0 então a expressão vale 1 e e^{ab}=e^{0}=1, consistente.
Para qualquer a,b\in\mathbb{R} finitos o resultado é e^{ab}. (Para x suficientemente grande a base 1+\dfrac{a}{x} é positiva, então o logaritmo usado é bem definido para calcular o limite.)