(Miscelânea) Identifique o tipo de indeterminação e calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{2 x-5}{2+3 x-2 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para identificar o tipo de indeterminação e calcular o limite
\lim_{x\to 2^-}\frac{2x-5}{2+3x-2x^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função no numerador é 2x-5.
  • A função no denominador é 2+3x-2x^{2}.
  • Avaliando em x=2: 2x-5\big|_{x=2} = 2\cdot 2-5 = -1, \qquad 2+3x-2x^{2}\big|_{x=2} = 2+6-8 = 0.
Portanto, na substituição direta o numerador tende a -1 e o denominador tende a 0.

Passo 2

Breve explicação didática sobre tipos de indeterminações (isso vai ajudar na prova):
  • Uma expressão de limite da forma \dfrac{0}{0} é uma indeterminação clássica e requer manipulação (fatoração, regra de L’Hôpital, simplificação, etc.).
  • Quando o numerador tende a uma constante não nula c\neq 0 e o denominador tende a 0, a situação não é uma indeterminação no sentido clássico: normalmente o valor absoluto da razão fica arbitrariamente grande e o limite é infinito (ou -\infty), dependendo do sinal do numerador e do sinal com que o denominador se aproxima de zero (pela direita ou pela esquerda).
  • Para decidir o sinal do infinito é preciso analisar os sinais das partes que compõem o denominador perto do ponto de interesse (análise de sinal / fatoração).

Passo 3

Fatorar o denominador para facilitar a análise de sinal. Vamos encontrar as raízes de 2+3x-2x^{2}:
2+3x-2x^{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad -2x^{2}+3x+2=0.
Multiplicando por -1 e aplicando a fórmula quadrática (ou observando as raízes),
2x^{2}-3x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4\cdot2\cdot(-2)}}{2\cdot2} =\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{4}=\frac{3\pm5}{4}.
Assim as raízes são x=2 e x=-\tfrac{1}{2}. Logo o polinômio fatora como
2+3x-2x^{2}=-2(x-2)\Bigl(x+\tfrac{1}{2}\Bigr).

Passo 4

Usar a fatoração para analisar o sinal do denominador quando x\to 2^-.
  • O fator constante -2 é negativo.
  • O fator (x-2) quando x\to 2^- é negativo e pequeno (pois x-2<0).
  • O fator \bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr) perto de x=2 vale aproximadamente 2{,}5, ou seja, é positivo.
    Multiplicando sinais:
\text{signo do denominador} = \text{signo}(-2)\cdot\text{sign}(x-2)\cdot\text{sign}\Bigl(x+\tfrac{1}{2}\Bigr) = (-)\cdot(-)\cdot(+)=+.
Portanto, quando x\to 2^- o denominador tende a 0 pela direita (positivo e pequeno).

Passo 5

Agora olhar o numerador: para x\to 2 tem-se 2x-5\to -1, ou seja, o numerador é negativo e tende a uma constante diferente de zero.
Com numerador negativo e denominador tendendo a 0 por valores positivos, a razão tende para -\infty. Em palavras: não é uma indeterminação do tipo 0/0; é a situação “constante não nula sobre zero”, que leva a limite infinito cujo sinal é decidido pela análise de sinais feita acima.

Resposta

-\infty

Exercícios relacionados