Portanto, na substituição direta o numerador tende a -1 e o denominador tende a 0.
Passo 2
Breve explicação didática sobre tipos de indeterminações (isso vai ajudar na prova):
Uma expressão de limite da forma \dfrac{0}{0} é uma indeterminação clássica e requer manipulação (fatoração, regra de L’Hôpital, simplificação, etc.).
Quando o numerador tende a uma constante não nula c\neq 0 e o denominador tende a 0, a situação não é uma indeterminação no sentido clássico: normalmente o valor absoluto da razão fica arbitrariamente grande e o limite é infinito (ou -\infty), dependendo do sinal do numerador e do sinal com que o denominador se aproxima de zero (pela direita ou pela esquerda).
Para decidir o sinal do infinito é preciso analisar os sinais das partes que compõem o denominador perto do ponto de interesse (análise de sinal / fatoração).
Passo 3
Fatorar o denominador para facilitar a análise de sinal. Vamos encontrar as raízes de 2+3x-2x^{2}:
Assim as raízes são x=2 e x=-\tfrac{1}{2}. Logo o polinômio fatora como
2+3x-2x^{2}=-2(x-2)\Bigl(x+\tfrac{1}{2}\Bigr).
Passo 4
Usar a fatoração para analisar o sinal do denominador quando x\to 2^-.
O fator constante -2 é negativo.
O fator (x-2) quando x\to 2^- é negativo e pequeno (pois x-2<0).
O fator \bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr) perto de x=2 vale aproximadamente 2{,}5, ou seja, é positivo.
Multiplicando sinais:
\text{signo do denominador} = \text{signo}(-2)\cdot\text{sign}(x-2)\cdot\text{sign}\Bigl(x+\tfrac{1}{2}\Bigr) = (-)\cdot(-)\cdot(+)=+.
Portanto, quando x\to 2^- o denominador tende a 0 pela direita (positivo e pequeno).
Passo 5
Agora olhar o numerador: para x\to 2 tem-se 2x-5\to -1, ou seja, o numerador é negativo e tende a uma constante diferente de zero.
Com numerador negativo e denominador tendendo a 0 por valores positivos, a razão tende para -\infty. Em palavras: não é uma indeterminação do tipo 0/0; é a situação “constante não nula sobre zero”, que leva a limite infinito cujo sinal é decidido pela análise de sinais feita acima.