(Miscelânea) Identifique o tipo de indeterminação e calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{x^{2}}-1}{3 x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Identificar o tipo de indeterminação de \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \frac{e^{x^{2}}-1}{3x}.
  • Calcular esse limite.
Informações dadas (tudo que vem do enunciado):
  • A função no numerador é e^{x^{2}}-1.
  • A função no denominador é 3x.
  • A variável x tende para 0 pela direita ( x\to 0^{+}).

Passo 2

Primeiro vamos checar separadamente os limites do numerador e do denominador ao aproximar x de 0:
\lim_{x\to 0^{+}} \bigl(e^{x^{2}}-1\bigr)=e^{0}-1=0,
\lim_{x\to 0^{+}} 3x = 3\cdot 0 = 0.
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, a forma é \tfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos afirmar o valor do quociente apenas a partir desses limites individuais; precisamos manipular a expressão.
Uma ferramenta típica para tratar \tfrac{0}{0} é a Regra de L’Hôpital. Vou explicar essa regra de forma simples:
  • Se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty), e f e g são diferenciáveis num intervalo em torno de a (exceto possivelmente em a), e g'(x)\neq 0 perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite do lado direito existe (ou é \pm\infty).
Aqui as hipóteses se aplicam: numerador e denominador tendem a 0 e são diferenciáveis perto de 0. Então podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, precisamos das derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(3x\bigr)=3.
Derivada do numerador \,e^{x^{2}}-1:
  • Regra da cadeia: se h(x)=e^{u(x)}, então h'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
  • Aqui u(x)=x^{2}, então u'(x)=2x.
    Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}}-1\bigr)=e^{x^{2}}\cdot 2x = 2x\,e^{x^{2}}.
Pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{e^{x^{2}}-1}{3x} = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{2x\,e^{x^{2}}}{3}.

Passo 4

Agora avalio o novo limite. O fator e^{x^{2}} é contínuo e e^{0}=1, então ao substituir x=0 diretamente:
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{2x\,e^{x^{2}}}{3} = \frac{2\cdot 0 \cdot e^{0}}{3} = \frac{0}{3} = 0.
Portanto o limite original vale 0.
Como reforço didático, mostro uma alternativa rápida com desenvolvimento em série (opcional, para intuição): para x pequeno,
e^{x^{2}} = 1 + x^{2} + O(x^{4}),
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\frac{e^{x^{2}}-1}{3x} \approx \frac{x^{2}}{3x}=\frac{x}{3}\to 0.
Ambas as abordagens concordam com o resultado 0.

Resposta

0

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