(Miscelânea) Identifique o tipo de indeterminação e calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Identificar o tipo de indeterminação de
. - Calcular esse limite.
Informações dadas (tudo que vem do enunciado):
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - A variável
tende para pela direita ( ).
Passo 2
Primeiro vamos checar separadamente os limites do numerador e do denominador ao aproximar
de
:
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a
, a forma é
, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos afirmar o valor do quociente apenas a partir desses limites individuais; precisamos manipular a expressão.
Uma ferramenta típica para tratar
é a Regra de L’Hôpital. Vou explicar essa regra de forma simples:
- Se
e (ou ambos ), e e são diferenciáveis num intervalo em torno de (exceto possivelmente em ), e perto de , então
quando o limite do lado direito existe (ou é
).
Aqui as hipóteses se aplicam: numerador e denominador tendem a
e são diferenciáveis perto de
. Então podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 3
Aplicando L’Hôpital, precisamos das derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do denominador:
Derivada do numerador
:
- Regra da cadeia: se
, então . - Aqui
, então .
Portanto
Pela Regra de L’Hôpital,
Passo 4
Agora avalio o novo limite. O fator
é contínuo e
, então ao substituir
diretamente:
Portanto o limite original vale
.
Como reforço didático, mostro uma alternativa rápida com desenvolvimento em série (opcional, para intuição): para
pequeno,
logo
Ambas as abordagens concordam com o resultado
.