(Miscelânea) Identifique o tipo de indeterminação e calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: identificar o tipo de indeterminação da expressão e calcular o limite
Vamos primeiro verificar o que ocorre ao substituir
na expressão. Para
:
e
Portanto a forma obtida é
, ou seja, uma indeterminação do tipo
.
Passo 2
Como temos uma indeterminação do tipo
, podemos tentar usar a Regra de L’Hôpital. Vou explicar essa regra de forma direta e prática.
Regra de L’Hôpital (enunciado prático): se
e
são funções diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
) e
e o limite
existe (ou é
), então
Aqui
e
. Ambas são diferenciáveis perto de
, então podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 3
Vou calcular as derivadas passo a passo — e explicar cada passo como se estivéssemos na prova.
Primeiro, identifique a função interior e aplique a regra da cadeia para
.
Defina
. Então
.
- Derivada de
: - Derivada externa: se
então .
Pela regra da cadeia,
Simplificando,
Agora a derivada do denominador
é direta:
Passo 4
Aplicando L’Hôpital:
Podemos cancelar
no numerador e denominador para
(isso é válido na vizinhança de
, pois
não é zero ali):
Agora basta avaliar o limite substituindo
:
Passo 5
Breve reforço (estilo amigo): a ideia foi reconhecer a indeterminação
, aplicar L’Hôpital porque tanto numerador quanto denominador são diferenciáveis, usar a regra da cadeia com cuidado para derivar o numerador e depois simplificar antes de avaliar o limite. Tudo isso dá um resultado bem direto:
. Força na prova — você vai dar conta!
Resposta
Indeterminação: