(Miscelânea) Identifique o tipo de indeterminação e calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\left(3-x^{3}\right)^{4}-16}{x^{3}-1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: identificar o tipo de indeterminação da expressão e calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{(3-x^{3})^{4}-16}{x^{3}-1}.
Vamos primeiro verificar o que ocorre ao substituir x=1 na expressão. Para x=1:
(3-1^{3})^{4}-16=(3-1)^{4}-16=2^{4}-16=16-16=0,
e
1^{3}-1=1-1=0.
Portanto a forma obtida é \,0/0, ou seja, uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 2

Como temos uma indeterminação do tipo 0/0, podemos tentar usar a Regra de L’Hôpital. Vou explicar essa regra de forma direta e prática.
Regra de L’Hôpital (enunciado prático): se f e g são funções diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e
\lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0,
e o limite
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui f(x)=(3-x^{3})^{4}-16 e g(x)=x^{3}-1. Ambas são diferenciáveis perto de x=1, então podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Vou calcular as derivadas passo a passo — e explicar cada passo como se estivéssemos na prova.
Primeiro, identifique a função interior e aplique a regra da cadeia para f(x)=(3-x^{3})^{4}-16.
Defina u(x)=3-x^{3}. Então f(x)=u(x)^{4}-16.
  • Derivada de u(x): u'(x)=\frac{d}{dx}(3-x^{3})=-3x^{2}.
  • Derivada externa: se h(u)=u^{4} então h'(u)=4u^{3}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(u(x)^{4}\big)=4\,u(x)^{3}\,u'(x)=4(3-x^{3})^{3}\cdot(-3x^{2}).
Simplificando,
f'(x)=-12x^{2}(3-x^{3})^{3}.
Agora a derivada do denominador g(x)=x^{3}-1 é direta:
g'(x)=3x^{2}.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to 1}\frac{(3-x^{3})^{4}-16}{x^{3}-1} =\lim_{x\to 1}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to 1}\frac{-12x^{2}(3-x^{3})^{3}}{3x^{2}}.
Podemos cancelar x^{2} no numerador e denominador para x\neq 0 (isso é válido na vizinhança de x=1, pois x^{2} não é zero ali):
\frac{-12x^{2}(3-x^{3})^{3}}{3x^{2}}=-4(3-x^{3})^{3}.
Agora basta avaliar o limite substituindo x=1:
\lim_{x\to 1}-4(3-x^{3})^{3}=-4(3-1^{3})^{3}=-4(2)^{3}=-4\cdot 8=-32.

Passo 5

Breve reforço (estilo amigo): a ideia foi reconhecer a indeterminação 0/0, aplicar L’Hôpital porque tanto numerador quanto denominador são diferenciáveis, usar a regra da cadeia com cuidado para derivar o numerador e depois simplificar antes de avaliar o limite. Tudo isso dá um resultado bem direto: -32. Força na prova — você vai dar conta!

Resposta

Indeterminação: 0/0
-32

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