Questão 01 ( 2,0 pontos). Sobre funções de várias variáveis reais a valores vetoriais enumere as colunas de acordo com os estudos e as reflexões apresentadas:
Primeira Coluna
(1) Campo vetorial
(2) Rotacional
(3) Divergente
(4) Derivadas Parciais
Segunda Coluna
( ) Uma ferramenta essencial para analisar como a função varia em relação a cada uma de suas variáveis independentes.
Seja F: \Omega \subseteq R^{2} \rightarrow R^{m} dada por F(x, y)=\left(F_{1}(x, y),\left(F_{2}(x, y), \cdots, F_{m}(x, y)\right)\right. e seja \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \Omega.
limite \frac{\partial F}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{F\left(x_{0}+h, y_{0}\right)-F\left(\left(x_{0}, y_{0}\right)\right.}{h} quando existe.
( ) É uma operação diferencial que mede a tendência de um campo vẹtorial de “se expandir” ou “se contrair” em um ponto. Por exemplo, seja \varphi(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}, o laplaciano de \varphi é
( ) F(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k está definido no aberto \Omega \subset R^{3}. Suponhamos - que P, Q e R admitam derivadas parciais em \Omega e dado simbolicamente por: \nabla \times F=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\\ P & Q & R\end{array}\right|
( ) Se D \subseteq R^{n} é um conjunto aberto (como um domínio no plano ou no espaço) e considerarmos uma transformação F de A em R^{n}. Muitas vezes, levando em conta o significado físico ou geométrico de F, será conveniente interpretar F(X) \in R^{n}.
Passo 1
O que o enunciado pede: associar cada item da Primeira Coluna (1)–(4) com a descrição adequada na Segunda Coluna. Ou seja, para cada uma das quatro descrições dadas, identificar qual dos termos da Primeira Coluna ela representa.
Informações relevantes fornecidas (cada descrição da Segunda Coluna, na ordem em que aparecem):
Descrição A: “Uma ferramenta essencial para analisar como a função varia em relação a cada uma de suas variáveis independentes.” Segue a definição por limite da derivada parcial \dfrac{\partial F}{\partial x}\left(x_{0},y_{0}\right)=\lim_{h\to0}\dfrac{F(x_0+h,y_0)-F(x_0,y_0)}{h} quando existe.
Descrição B: “É uma operação diferencial que mede a tendência de um campo vetorial de ‘se expandir’ ou ‘se contrair’ em um ponto. Por exemplo, para \varphi(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} o laplaciano \nabla^{2}\varphi=\dfrac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial^{2}\varphi}{\partial z^{2}}=6.”
Descrição C: “Para F(x,y,z)=P(x,y,z)\,i+Q(x,y,z)\,j+R(x,y,z)\,k está definido o rotacional simbolicamente por \nabla\times F=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\\ P & Q & R\end{array}\right|.”
Descrição D: “Se D\subseteq\mathbb{R}^{n} e considerarmos uma transformação F de A em \mathbb{R}^{n}. Muitas vezes será conveniente interpretar F(X)\in\mathbb{R}^{n}.”
O que temos que fazer: para cada descrição A–D dizer se ela é (1) Campo vetorial, (2) Rotacional, (3) Divergente ou (4) Derivadas Parciais. A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Entendendo a Descrição A (derivadas parciais). Conceito e fórmula:
Intuição: derivada parcial mede a taxa de variação da função quando se altera apenas uma variável, mantendo as demais fixas.
Definição por limite (já dada no enunciado): para uma função vetorial F:\Omega\subseteq\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{m} com F=(F_{1},\dots,F_{m}), a derivada parcial em relação a x no ponto (x_0,y_0) é
quando esse limite existe; análogo para \dfrac{\partial F}{\partial y}.
Interpretação componente a componente: isso significa calcular para cada componente F_k a derivada parcial \dfrac{\partial F_k}{\partial x}.
Exemplo simples (para treinar): seja F(x,y)=(x^{2}y,\\ \sin(x+y)). Então
Conclusão sobre Descrição A: o enunciado mostra exatamente a definição de derivadas parciais, portanto a Descrição A corresponde ao item (4) Derivadas Parciais.
Passo 3
Entendendo a Descrição B (divergente e laplaciano). Conceito e cuidado com termos:
Divergente (\nabla\cdot F): para um campo vetorial F=(F_1,\dots,F_n) em \mathbb{R}^{n}, a divergente é a soma das derivadas parciais das componentes:
Observação: o enunciado usa o laplaciano de um escalar como exemplo numérico (\varphi=x^{2}+y^{2}+z^{2} dá \nabla^{2}\varphi=2+2+2=6), mas a frase sobre “expandir/contrair” refere-se à divergente, e o laplaciano aparece naturalmente como divergente do gradiente. Portanto a Descrição B fala da divergente. Conclusão sobre Descrição B: corresponde ao item (3) Divergente.
Passo 4
Entendendo a Descrição C (rotacional). Conceito, fórmula e interpretação:
Rotacional (curl) em \mathbb{R}^{3}: para F=(P,Q,R),
\nabla\times F=\begin{vmatrix} i & j & k\\[4pt] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\[4pt] P & Q & R \end{vmatrix}.
Ao expandir esse determinante obtém-se as componentes:
Intuição física: o rotacional mede a tendência de rotação local do campo — se existe vorticidade/torção em torno de um ponto.
A Descrição C dá exatamente a fórmula simbólica do rotacional, logo corresponde ao item (2) Rotacional.]
Passo 5
Entendendo a Descrição D (campo vetorial). Conceito e interpretação:
Campo vetorial (vector field): é uma função F que associa a cada ponto X\in D\subset\mathbb{R}^{n} um vetor F(X)\in\mathbb{R}^{n} (ou mais geralmente em \mathbb{R}^{m}). Em muitas aplicações físicas/geométricas convém interpretar a imagem F(X) como um vetor no espaço de dimensão apropriada.
Exemplo: em \mathbb{R}^{2}, um vento no plano pode ser representado por F(x,y)=(u(x,y),v(x,y)); cada ponto (x,y) tem associado um vetor velocidade.
A Descrição D fala precisamente dessa interpretação de uma transformação F como atribuição de vetores a pontos do domínio, portanto corresponde ao item (1) Campo vetorial.
Passo 6
Resumo final lógico (sem cálculos adicionais): combinando as conclusões de cada passo anterior:
Descrição A → (4) Derivadas Parciais.
Descrição B → (3) Divergente.
Descrição C → (2) Rotacional.
Descrição D → (1) Campo vetorial.
Força aí — com esse mapa você já decifra quais termos da Primeira Coluna batem com as descrições da Segunda Coluna. Se quiser, faço exercícios rápidos para praticar cada conceito.