(Miscelânea) Identifique o tipo de indeterminação e calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+3}{x+2}\right)^{4 x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x+3}{x+2}\right)^{4x}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A base é \dfrac{x+3}{x+2}.
  • O expoente é 4x.
    Analisando os limites das partes isoladas quando x\to+\infty:
\frac{x+3}{x+2}\longrightarrow 1, \qquad 4x\longrightarrow +\infty.
Portanto a expressão tem a forma indeterminada do tipo 1^{\infty}.

Passo 2

Método que vamos usar (padrão para 1^{\infty}): tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto e calcular o limite do logaritmo. Se
f(x)=\left(\frac{x+3}{x+2}\right)^{4x},
então, quando existir o limite de \ln f(x), vale
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\exp\!\Big(\lim_{x\to+\infty}\ln f(x)\Big).
Isto vale porque a função exponencial é contínua; assim é suficiente calcular o limite do logaritmo.

Passo 3

Calcular o logaritmo:
\ln f(x)=4x\cdot\ln\!\left(\frac{x+3}{x+2}\right) =4x\cdot\ln\!\left(1+\frac{1}{x+2}\right).
Para estudar o comportamento desse produto quando x\to+\infty é conveniente fazer a substituição
u=\frac{1}{x+2}\quad\Rightarrow\quad u\to 0^+ \text{ quando } x\to+\infty.
Reescrevendo 4x de modo a separar fatores que têm limites fáceis:
4x\cdot\ln\!\left(1+\frac{1}{x+2}\right) =4\cdot\frac{x}{x+2}\cdot\frac{\ln(1+u)}{u},
pois u=1/(x+2).

Passo 4

Agora avalio os dois fatores que aparecem:
  • \displaystyle \frac{x}{x+2} \longrightarrow 1 quando x\to+\infty, porque \frac{x}{x+2}=1-\frac{2}{x+2}.
  • \displaystyle \frac{\ln(1+u)}{u}\longrightarrow 1 quando u\to 0. Explicação didática: a expansão de Taylor ou o limite do quociente incremental da função \ln(1+t) em t=0 \ln(1+t)=t+o(t), logo \ln(1+t)/t\to1. Em termos elementares, é o limite fundamental
\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1,
que pode ser visto pelo desenvolvimento em série ou pela derivada de \ln em 0.
Multiplicando os limites:
\lim_{x\to+\infty}4\cdot\frac{x}{x+2}\cdot\frac{\ln(1+u)}{u} =4\cdot 1\cdot 1 =4.
Portanto
\lim_{x\to+\infty}\ln f(x)=4.

Passo 5

Voltando à função original através da exponencial:
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\exp\!\Big(\lim_{x\to+\infty}\ln f(x)\Big)=\exp(4)=e^{4}.

Resposta

e^{4}

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