(Miscelânea) Identifique o tipo de indeterminação e calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A base é
. - O expoente é
.
Analisando os limites das partes isoladas quando:
Portanto a expressão tem a forma indeterminada do tipo
.
Passo 2
Método que vamos usar (padrão para
): tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto e calcular o limite do logaritmo. Se
então, quando existir o limite de
, vale
Isto vale porque a função exponencial é contínua; assim é suficiente calcular o limite do logaritmo.
Passo 3
Calcular o logaritmo:
Para estudar o comportamento desse produto quando
é conveniente fazer a substituição
Reescrevendo
de modo a separar fatores que têm limites fáceis:
pois
.
Passo 4
Agora avalio os dois fatores que aparecem:
-
quando , porque . -
quando . Explicação didática: a expansão de Taylor ou o limite do quociente incremental da função em dá , logo . Em termos elementares, é o limite fundamental
que pode ser visto pelo desenvolvimento em série ou pela derivada de
em
.
Multiplicando os limites:
Multiplicando os limites:
Portanto
Passo 5
Voltando à função original através da exponencial: