(0,5) Mistura-se 800 g de gelo \mathrm{a}-40^{\circ} \mathrm{C} com 500 g de água a 0^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a temperatura final do sistema e a massa de água ao final do processo. Considere L_{\text {liq }} =79,5 \mathrm{cal} / \mathrm{g}, c_{\text {água }}=1,0 \mathrm{cal} / \mathrm{g} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}á e c_{\text {gelo }}=0,5 \mathrm{cal} / \mathrm{g} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações:
  • Massa de gelo: m_{\text{gelo,i}}=800\\ \mathrm{g} a -40^{\circ}\mathrm{C}.
  • Massa de água: m_{\text{água,i}}=500\\ \mathrm{g}á a 0^{\circ}\mathrm{C}.
  • Calor latente de fusão (gelo → água): L_{\text{liq}}=79,5\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}.
  • Calor específico da água líquida: c_{\text{água}}=1,0\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\cdot{ }^{\circ}\mathrm{C})á.
  • Calor específico do gelo: c_{\text{gelo}}=0,5\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\cdot{ }^{\circ}\mathrm{C}).
Perguntas:
  1. Qual a temperatura final do sistema?
  2. Qual a massa de água no equilíbrio (após cessarem as trocas de calor)?

Passo 2

Princípios físicos que vamos usar (explicando com calma):
  • Calor sensível (para mudar temperatura sem mudança de fase) é dado por \displaystyle Q = m\,c\,\Delta T, onde m é a massa, c o calor específico e \Delta T a variação de temperatura.
    • Aqui m em gramas, c em \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}), Q em calorias.
  • Calor latente de fusão (para mudar de gelo a água a 0^{\circ}\mathrm{C}) é \displaystyle Q_{\text{lat}} = m\,L, onde L é o calor latente (aqui L_{\text{liq}}=79,5\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}).
  • Conservação de energia: em um sistema isolado, a soma dos calores trocados é zero; calor cedido por uma parte = calor absorvido por outra parte.
    Vou aplicar essas fórmulas passo a passo ao nosso problema.

Passo 3

Primeiro calculemos quanto calor é necessário para aquecer todo o gelo de -40^{\circ}\mathrm{C} até 0^{\circ}\mathrm{C} (aquecimento sem fusão):
Q_{\text{aquec,gelo}} = m_{\text{gelo,i}}\,c_{\text{gelo}}\,\Delta T = 800\cdot 0,5 \cdot (0-(-40))
Q_{\text{aquec,gelo}} = 800\cdot 0,5 \cdot 40 = 800\cdot 20 = 16000\\ \mathrm{cal}.
Explicando: isso é a energia que o gelo “precisa” apenas para ficar à temperatura de 0^{\circ}\mathrm{C}; antes de derreter, ele primeiro tem que aquecer até 0^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 4

Se quiséssemos derreter todo o gelo (transformá-lo em água a 0^{\circ}\mathrm{C}), seria necessário mais calor:
Q_{\text{fusão,800g}} = m_{\text{gelo,i}} \, L_{\text{liq}} = 800\cdot 79,5 = 63600\\ \mathrm{cal}.ã
Energia total necessária para levar o gelo de -40^{\circ}\mathrm{C} até água líquida a 0^{\circ}\mathrm{C} seria a soma:
Q_{\text{total,necessário}} = Q_{\text{aquec,gelo}} + Q_{\text{fusão,800g}} = 16000 + 63600 = 79600\\ \mathrm{cal}.áã

Passo 5

Agora olhamos a fonte de calor disponível: a água inicial está a 0^{\circ}\mathrm{C}. Como está à temperatura de fusão, ela não pode ceder calor sensível (não pode “esfriar” sem congelar). A única forma de liberar calor é congelando parte (ou toda) dessa água, pois congelamento libera calor latente. Se toda a água de 500\\ \mathrm{g} congelasse, a energia liberada seria:
Q_{\text{lib,max}} = m_{\text{água,i}}\,L_{\text{liq}} = 500\cdot 79,5 = 39750\\ \mathrm{cal}.á
Comparando: 39750\\ \mathrm{cal} < 79600\\ \mathrm{cal}. Conclusão: mesmo congelando toda a água inicial, não haveria calor suficiente para levar todo o gelo até água líquida a 0^{\circ}\mathrm{C}. Portanto o equilíbrio ocorrerá a 0^{\circ}\mathrm{C} com coexistência de gelo e água — ou seja, a temperatura final é \displaystyle 0^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 6

Agora precisamos achar quantas gramas de água teremos no final. Para isso fazemos o balanço de energia assumindo temperatura final \,0^{\circ}\mathrm{C}\,.
Definimos:
  • x = massa de água inicial que congela (em g). Essa transformação libera x\cdot L_{\text{liq}} calorias.
  • y = massa de gelo inicial que derrete (em g). Essa transformação consome y\cdot L_{\text{liq}} calorias.
    Além disso, todo o gelo inicial aqueceu de -40^{\circ}\mathrm{C} até 0^{\circ}\mathrm{C}, absorvendo 16000\\ \mathrm{cal} (calculado no Passo 3). A equação de conservação de energia (tudo em 0^{\circ}\mathrm{C}) é:
\text{calor cedido pela água que congela} = \text{calor absorvido pelo gelo ao aquecer} + \text{calor absorvido para fundir } yá
ou
x\cdot L_{\text{liq}} = 16000 + y\cdot L_{\text{liq}}.

Passo 7

Da equação anterior isolamos x em função de y:
x = \frac{16000}{L_{\text{liq}}} + y.
Compute o termo \dfrac{16000}{L_{\text{liq}}}:
\frac{16000}{79,5} \approx 201,257861\\ \mathrm{g}.
Logo
x \approx 201,257861 + y.

Passo 8

Agora expressamos a massa final de água m_{\text{água,f}}á. Inicialmente havia 500\\ \mathrm{g} de água; ao final parte x congelou e, do gelo inicial, y derreteu e virou água. Portanto:
m_{\text{água,f}} = 500 - x + y.á
Substituindo x pela expressão do Passo 7:
m_{\text{água,f}} = 500 - \bigl(201,257861 + y\bigr) + y = 500 - 201,257861 = 298,742139\\ \mathrm{g}.á
Note que o termo y cancela: o resultado é independente de quanto exatamente de gelo derrete, contanto que o sistema fique em 0^{\circ}\mathrm{C} (isso ocorre porque qualquer gelo que derreta precisa de calor que vem exatamente da água que congelou, e o aquecimento inicial do gelo fixa a diferença).

Passo 9

Arredondando com sensibilidade prática (duas casas decimais é suficiente para laboratório/prova):
m_{\text{água,f}} \approx 298,74\\ \mathrm{g}.á
E a temperatura final, como concluímos no Passo 5, é
T_{\text{final}} = 0^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

Temperatura final: 0^{\circ}\mathrm{C}
Massa de água final: 298,74\\ \mathrm{g}

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