Um dispositivo térmico opera utilizando gás Nitrogênio na forma molecular
(Massa Molar
) como gás de trabalho. Em uma câmara de
à pressão de
, estão contidos 112 gramas do gás. A partir do volume inicial, o gás sofre uma expansão isobárica até atingir uma temperatura 200 K acima da temperatura inicial. Posteriormente, sofre uma expansão isotérmica até triplicar o volume inicial, seguida de uma transformação isométrica. Para fechar o ciclo, uma compressão adiabática é realizada sobre o gás. a) Calcule o número de mols; b) Construa um diagrama
-V ; b) Calcule a eficiência deste dispositivo térmico. c) Preencha a tabela 1 com os valores de
e
para cada estado final (mostre todos os cálculos realizados); d) Calcule o Calor, o Trabalho e a Variação da Energia Interna em cada transformação e preencha a tabela 2 (mostre todos os cálculos realizados);
Table 1: Tabela 1 - Pressão, Volume e Temperatura\captionsetup{labelformat=empty}
Estado 1
Estado 2
Estado 3
Estado 4
Pressão
Volume
Tempeatura
Table 2: Tabela 2 - Calor, Trabalho e Variação de Energia Interna\captionsetup{labelformat=empty}
Calor
Trabalho
Var. Energia Interna
Ciclo
Table 1: Tabela 1 - Pressão, Volume e Temperatura
\captionsetup{labelformat=empty}
| Estado 1 | Estado 2 | Estado 3 | Estado 4 | |
| Pressão | ||||
| Volume | ||||
| Tempeatura |
Table 2: Tabela 2 - Calor, Trabalho e Variação de Energia Interna
\captionsetup{labelformat=empty}
|
|
|
|
|
|
| Calor | ||||
| Trabalho | ||||
| Var. Energia Interna | ||||
| Ciclo |
Passo 1
O enunciado dá um ciclo termodinâmico com gás
(massa molar
) e fornece as condições iniciais e as transformações. Vou listar explicitamente o que foi pedido e as informações fornecidas:
- Dados fornecidos:
- Massa do gás:
. - Massa molar:
. - Volume inicial:
. - Pressão inicial:
. - Conversão:
. - Transformações (na ordem):
isobárica com ; isotérmica até ; isométrica (isto é, ); compressão adiabática que fecha o ciclo.
- Massa do gás:
- O que o enunciado pede:
a) Calcular o número de mols do gás.
b) Construir (descrever) o diagrama- do ciclo.
c) Calcular a eficiência do dispositivo térmico.
d) Preencher a Tabela 1 comdos quatro estados (mostrar cálculos).
e) Preencher a Tabela 2 com, e para cada transformação e para o ciclo (mostrar cálculos).
Observações importantes que usarei:
- Trata-se de gás ideal; usarei a equação dos gases ideais
. - Para o nitrogênio molecular, trataremos como gás diatômico (graus de liberdade trans+rot = 5), portanto:
- Constante universal dos gases
. - Convenção de sinais:
calor recebido pelo gás; trabalho realizado pelo gás; balanço energético .
A partir daqui começo os cálculos passo a passo.
Passo 2
(a) Calcular o número de mols
.
- Fórmula: número de mols
. - Aplicando os dados: massa
, massa molar . - Cálculo:
Passo 3
Determinar as condições do estado 1 (usar gás ideal e converter pressões).
- Converter
para SI: - Usar a equação dos gases ideais para
: - Substituindo:
Calculei:
Guardei também os produtos úteis:
Passo 4
Estado 2 (transformação isobárica
e
).
- Temperatura em 2:
- Pressão em 2:
(isobárica). - Volume em 2 pela equação dos gases ideais (ou proporcionalidade
em const): Cálculo:
Passo 5
Estado 3 (transformação isotérmica
até triplicar o volume inicial).
- A expansão é isotérmica à temperatura
, e o enunciado diz: . Assim: - Temperatura em 3:
(isotérmica). - Pressão em 3 pela equação dos gases ideais:
Substituindo: Observação numérica: também pode-se obter .
Passo 6
Estados 4 e fechamento do ciclo (3->4 isométrica seguida de 4->1 adiabática).
- A transformação
é isométrica: .
Temperaturae pressão ainda não conhecidas diretamente; serão determinadas exigindo que a compressão seja adiabática reversível que leva ao estado 1. - Para uma adiabática reversível de gás ideal temos:
Aplicando entre os estados 4 e 1: Portanto: - Para nitrogênio
então . Substituindo: Cálculo: - Agora
pela equação dos gases ideais: - Verificação rápida (adiabática):
(confere dentro de erros de arredondamento).
Passo 7
Construção do diagrama
-
(descrição para “desenho” rápido em prova).
- Pontos (aproximados) a marcar no gráfico
versus : - Estado 1:
. - Estado 2:
— linha horizontal para a direita (isobárica). - Estado 3:
— curva isotérmica (hipérbole) descendo de a . - Estado 4:
— linha vertical para baixo (isochorica). - Fecho: curva adiabática de
de volta a subindo em quando diminui.
- Estado 1:
- Trajeto do ciclo: 1→2 (horizontal à direita), 2→3 (curva isotérmica), 3→4 (vertical para baixo), 4→1 (adiabática curva para cima/à esquerda). A área fechada é o trabalho líquido realizado pelo gás.
Passo 8
Regras e fórmulas para calor, trabalho e variação de energia interna (com explicações rápidas e aplicação a cada trecho).
- Energia interna de um gás ideal diatômico:
Aqui é a capacidade térmica molar multiplicada por . - Trabalho em processos especiais:
- Isobárico (
const): . - Isotérmico:
e , . - Isocórico (
const): , . - Adiabático reversível:
e (então ).
- Isobárico (
- Valores numéricos constantes que vamos usar:
Agora aplico essas fórmulas a cada trecho.
Passo 9
Cálculos detalhados para cada transformação (mostrando contas).
1→2 (isobárica,
):
-
. - Variação de energia interna:
- Trabalho realizado pelo gás (isobárico):
(ou , mesmo resultado). - Calor trocado:
2→3 (isotérmica a
, de
para
):
-
pois isotérmica para gás ideal. - Trabalho:
Valores: . Razão de volumes . Logo - Como
, .
3→4 (isocórica:
constante =
):
- Trabalho
. - Variação de temperatura
. - Variação de energia interna:
- Logo
(calor retirado do gás).
4→1 (adiabática reversível, fecha o ciclo):
- Calor
. - Variação de energia interna:
- Trabalho realizado pelo gás:
(negativo porque é compressão neta — trabalho feito sobre o gás).
Verificação do ciclo:
- Soma das variações de energia interna:
(fechamento). - Trabalho líquido
- Calor líquido
(confere com dentro de pequenos erros de arredondamento).
Passo 10
Preencher a Tabela 1 (valores numéricos finais de
em cada estado).
- Estado 1:
-
. -
. -
.
-
- Estado 2:
-
. -
. -
.
-
- Estado 3:
-
. -
. -
.
-
- Estado 4:
-
. -
. -
.
-
(Estes valores foram obtidos usando a equação dos gases ideais e a relação adiabática explicada anteriormente.)
Passo 11
Preencher a Tabela 2 (valores numéricos finais de
,
,
para cada transformação e para o ciclo). Valores arredondados com coerência numérica:
-
Para
: -
. -
. -
.
-
-
Para
: -
. -
. -
.
-
-
Para
: -
. -
. -
.
-
-
Para
: -
. -
. -
.
-
-
Totais do ciclo (soma sobre os quatro trechos):
-
-
-
(fechamento do ciclo).
-
Comentário pedagógico rápido: para resolver esse tipo de tabela em prova, memorize as fórmulas para cada processo (isobárico:
,
; isotérmico:
,
; isocórico:
,
; adiabático:
,
) e aplique-as com cuidado e unidades coerentes.
Passo 12
Calcular a eficiência térmica do ciclo.
- Definição: eficiência
é a razão entre o trabalho líquido realizado pelo dispositivo e o calor total absorvido (apenas os contados como entrada de calor): - Aqui as entradas de calor positivas ocorrem em
e , então: - Trabalho líquido
(ver passo 11). - Logo:
- Interpretação rápida: o aparelho converte cerca de
do calor recebido em trabalho no ciclo descrito (valor razoável para um ciclo não reversível idealizado).
Resposta
(a)
(b) Diagrama -
: 1→2 isobárica (horizontal à direita de
até
); 2→3 isotérmica (curva decrescente de
enquanto
cresce até
); 3→4 isocórica (vertical para baixo de
até
mantendo
); 4→1 adiabática (curva que sobe à esquerda até
).
(c) Eficiência .
(d) Tabela 1 (Estados: em Pa,
em m
,
em K):
Estado 1: ,
,
.
Estado 2: ,
,
.
Estado 3: ,
,
.
Estado 4: ,
,
.
(e) Tabela 2 (cada transformação: ,
,
em J; ciclo total na última coluna):
:
,
,
.
:
,
,
.
:
,
,
.
:
,
,
.
Ciclo (somando): ,
,
.
(b) Diagrama
(c) Eficiência
(d) Tabela 1 (Estados:
Estado 1:
Estado 2:
Estado 3:
Estado 4:
(e) Tabela 2 (cada transformação:
Ciclo (somando):