(2,0) Um dispositivo térmico opera utilizando gás Nitrogênio na forma molecular \mathrm{N}_{2} (Massa Molar =28 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ) como gás de trabalho. Em uma câmara de 0,5 \mathrm{~m}^{3} à pressão de 0,250 \mathrm{~atm}, estão contidos 112 gramas do gás. A partir do volume inicial, o gás sofre uma expansão isobárica até atingir uma temperatura 200 K acima da temperatura inicial. Posteriormente, sofre uma expansão isotérmica até triplicar o volume inicial, seguida de uma transformação isométrica. Para fechar o ciclo, uma compressão adiabática é realizada sobre o gás. a) Calcule o número de mols; b) Construa um diagrama p-V ; b) Calcule a eficiência deste dispositivo térmico. c) Preencha a tabela 1 com os valores de p, V e T para cada estado final (mostre todos os cálculos realizados); d) Calcule o Calor, o Trabalho e a Variação da Energia Interna em cada transformação e preencha a tabela 2 (mostre todos os cálculos realizados);
Table 1: Tabela 1 - Pressão, Volume e Temperatura
\captionsetup{labelformat=empty}
Estado 1 Estado 2 Estado 3 Estado 4
Pressão
Volume
Tempeatura
Table 2: Tabela 2 - Calor, Trabalho e Variação de Energia Interna
\captionsetup{labelformat=empty}
\mathbf{1} \boldsymbol{\rightarrow} \mathbf{2} \mathbf{2} \boldsymbol{\rightarrow} \mathbf{3} \mathbf{3} \boldsymbol{\rightarrow} \mathbf{4} \mathbf{4} \boldsymbol{\rightarrow} \mathbf{1}
Calor
Trabalho
Var. Energia Interna
Ciclo

Passo 1

O enunciado dá um ciclo termodinâmico com gás \mathrm{N}_2 (massa molar 28\;\mathrm{g/mol}) e fornece as condições iniciais e as transformações. Vou listar explicitamente o que foi pedido e as informações fornecidas:
  • Dados fornecidos:
    • Massa do gás: 112\;\mathrm{g}.
    • Massa molar: 28\;\mathrm{g/mol}.
    • Volume inicial: V_1 = 0{,}50\;\mathrm{m^3}.
    • Pressão inicial: p_1 = 0{,}250\;\mathrm{atm}.
    • Conversão: 1\;\mathrm{atm}=101325\;\mathrm{Pa}.
    • Transformações (na ordem): 1\to2 isobárica com T_2 = T_1 + 200\;\mathrm{K}; 2\to3 isotérmica até V_3 = 3V_1; 3\to4 isométrica (isto é, V_4 = V_3); 4\to1 compressão adiabática que fecha o ciclo.
  • O que o enunciado pede:
    a) Calcular o número de mols do gás.
    b) Construir (descrever) o diagrama p- V do ciclo.
    c) Calcular a eficiência do dispositivo térmico.
    d) Preencher a Tabela 1 com p, V, T dos quatro estados (mostrar cálculos).
    e) Preencher a Tabela 2 com Q, W e \Delta U para cada transformação e para o ciclo (mostrar cálculos).
Observações importantes que usarei:
  • Trata-se de gás ideal; usarei a equação dos gases ideais \;pV=nRT\;.
  • Para o nitrogênio molecular, trataremos como gás diatômico (graus de liberdade trans+rot = 5), portanto: C_V=\frac{5}{2}R,\qquad C_p=\frac{7}{2}R,\qquad \gamma=\frac{C_p}{C_V}=\frac{7}{5}=1{,}4.
  • Constante universal dos gases R=8{,}314462618\;\mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Convenção de sinais: Q>0 calor recebido pelo gás; W>0 trabalho realizado pelo gás; balanço energético \Delta U = Q - W.
A partir daqui começo os cálculos passo a passo.

Passo 2

(a) Calcular o número de mols n.
  • Fórmula: número de mols n = \dfrac{\text{massa}}{\text{massa molar}}.
  • Aplicando os dados: massa =112\;\mathrm{g}, massa molar =28\;\mathrm{g/mol}.
  • Cálculo: n=\frac{112\;\mathrm{g}}{28\;\mathrm{g/mol}}=4{,}00\;\mathrm{mol}.

Passo 3

Determinar as condições do estado 1 (usar gás ideal e converter pressões).
  • Converter p_1 para SI: p_1 = 0{,}250\;\mathrm{atm}=0{,}250\times101325\;\mathrm{Pa}=25331{,}25\;\mathrm{Pa}.
  • Usar a equação dos gases ideais para T_1: T_1=\frac{p_1 V_1}{nR}.
  • Substituindo: T_1=\frac{25331{,}25\;\mathrm{Pa}\times0{,}50\;\mathrm{m^3}}{4{,}00\times8{,}314462618\;\mathrm{J/(mol\cdot K)}}.Calculei: T_1\approx380{,}78\;\mathrm{K}.
Guardei também os produtos úteis:
nR = 4\times8{,}314462618 \approx 33{,}25785\;\mathrm{J/K},\qquad p_1V_1=25331{,}25\times0{,}5=12665{,}625\;\mathrm{J}.

Passo 4

Estado 2 (transformação isobárica 1\to2 e T_2=T_1+200\;\mathrm{K}).
  • Temperatura em 2: T_2 = T_1 + 200 \approx 380{,}78 + 200 = 580{,}78\;\mathrm{K}.
  • Pressão em 2: p_2=p_1=25331{,}25\;\mathrm{Pa} (isobárica).
  • Volume em 2 pela equação dos gases ideais (ou proporcionalidade V\propto T em p=const): V_2 = \frac{nR T_2}{p_2} = V_1\frac{T_2}{T_1}.Cálculo: V_2 = 0{,}50\;\mathrm{m^3}\times\frac{580{,}78}{380{,}78}\approx0{,}76279\;\mathrm{m^3}.

Passo 5

Estado 3 (transformação isotérmica 2\to3 até triplicar o volume inicial).
  • A expansão é isotérmica à temperatura T_2, e o enunciado diz: V_3 = 3V_1. Assim: V_3 = 3\times0{,}50\;\mathrm{m^3}=1{,}50\;\mathrm{m^3}.
  • Temperatura em 3: T_3 = T_2 = 580{,}78\;\mathrm{K} (isotérmica).
  • Pressão em 3 pela equação dos gases ideais: p_3 = \frac{nR T_3}{V_3}.Substituindo: p_3 \approx \frac{33{,}25785\times580{,}78}{1{,}50}\;\mathrm{Pa}\approx12878{,}9\;\mathrm{Pa}.Observação numérica: também pode-se obter p_3=p_2\frac{V_2}{V_3}.

Passo 6

Estados 4 e fechamento do ciclo (3->4 isométrica seguida de 4->1 adiabática).
  • A transformação 3\to4 é isométrica: V_4 = V_3 = 1{,}50\;\mathrm{m^3}.
    Temperatura T_4 e pressão p_4 ainda não conhecidas diretamente; serão determinadas exigindo que a compressão 4\to1 seja adiabática reversível que leva ao estado 1.
  • Para uma adiabática reversível de gás ideal temos: T V^{\gamma-1}=\text{const}.Aplicando entre os estados 4 e 1: T_4 V_4^{\gamma-1} = T_1 V_1^{\gamma-1}.Portanto: T_4 = T_1\left(\frac{V_1}{V_4}\right)^{\gamma-1}.
  • Para nitrogênio \gamma = 1{,}4 então \gamma-1=0{,}4. Substituindo: T_4 = 380{,}78\;\mathrm{K}\times\left(\frac{0{,}50}{1{,}50}\right)^{0{,}4} =380{,}78\times\left(\frac{1}{3}\right)^{0{,}4}.Cálculo: T_4\approx245{,}34\;\mathrm{K}.
  • Agora p_4 pela equação dos gases ideais: p_4=\frac{nR T_4}{V_4} \approx\frac{33{,}25785\times245{,}34}{1{,}50}\;\mathrm{Pa}\approx5437{,}8\;\mathrm{Pa}.
  • Verificação rápida (adiabática): p_4 V_4^\gamma \approx p_1 V_1^\gamma (confere dentro de erros de arredondamento).

Passo 7

Construção do diagrama p- V (descrição para “desenho” rápido em prova).
  • Pontos (aproximados) a marcar no gráfico p versus V:
    • Estado 1: (V_1,p_1)=(0{,}50\;\mathrm{m^3},\;25331\;\mathrm{Pa}).
    • Estado 2: (V_2,p_2)=(0{,}76279\;\mathrm{m^3},\;25331\;\mathrm{Pa}) — linha horizontal para a direita (isobárica).
    • Estado 3: (V_3,p_3)=(1{,}50\;\mathrm{m^3},\;12878{,}9\;\mathrm{Pa}) — curva isotérmica (hipérbole) descendo de 2 a 3.
    • Estado 4: (V_4,p_4)=(1{,}50\;\mathrm{m^3},\;5437{,}8\;\mathrm{Pa}) — linha vertical para baixo (isochorica).
    • Fecho: curva adiabática de 4 de volta a 1 subindo em p quando V diminui.
  • Trajeto do ciclo: 1→2 (horizontal à direita), 2→3 (curva isotérmica), 3→4 (vertical para baixo), 4→1 (adiabática curva para cima/à esquerda). A área fechada é o trabalho líquido realizado pelo gás.

Passo 8

Regras e fórmulas para calor, trabalho e variação de energia interna (com explicações rápidas e aplicação a cada trecho).
  • Energia interna de um gás ideal diatômico: \Delta U = n C_V \Delta T,\qquad C_V=\frac{5}{2}R.Aqui nC_V é a capacidade térmica molar multiplicada por n.
  • Trabalho em processos especiais:
    • Isobárico ( p= const): W = p\Delta V = nR\Delta T.
    • Isotérmico: \Delta U=0 e W = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right), Q=W.
    • Isocórico ( V= const): W=0, Q=\Delta U.
    • Adiabático reversível: Q=0 e \Delta U = -W (então W = -\Delta U).
  • Valores numéricos constantes que vamos usar: nR\approx33{,}25785\;\mathrm{J/K},\quad nC_V=n\frac{5}{2}R\approx83{,}14463\;\mathrm{J/K},\quad nC_p\approx116{,}40248\;\mathrm{J/K}.
Agora aplico essas fórmulas a cada trecho.

Passo 9

Cálculos detalhados para cada transformação (mostrando contas).
1→2 (isobárica, T_2=T_1+200\;\mathrm{K}):
  • \Delta T_{12}=200\;\mathrm{K}.
  • Variação de energia interna: \Delta U_{12}=nC_V\Delta T = 83{,}14463\times200 \approx 16628{,}93\;\mathrm{J}.
  • Trabalho realizado pelo gás (isobárico): W_{12}=nR\Delta T =33{,}25785\times200 \approx 6651{,}57\;\mathrm{J}.(ou W_{12}=p_1(V_2-V_1), mesmo resultado).
  • Calor trocado: Q_{12}=\Delta U_{12}+W_{12}=nC_p\Delta T\approx116{,}40248\times200\approx23280{,}50\;\mathrm{J}.
2→3 (isotérmica a T_2, de V_2 para V_3=1{,}50\;\mathrm{m^3}):
  • \Delta U_{23}=0 pois isotérmica para gás ideal.
  • Trabalho: W_{23}=nR T_2\ln\!\left(\frac{V_3}{V_2}\right).Valores: nR T_2 \approx 33{,}25785\times580{,}78 \approx 19317{,}20\;\mathrm{J}. Razão de volumes \dfrac{V_3}{V_2}\approx\dfrac{1{,}50}{0{,}76279}\approx1{,}9664. Logo W_{23}\approx19317{,}20\times\ln(1{,}9664)\approx19317{,}20\times0{,}6765\approx13068{,}1\;\mathrm{J}.
  • Como \Delta U_{23}=0, Q_{23}=W_{23}\approx13068{,}1\;\mathrm{J}.
3→4 (isocórica: V constante = 1{,}50\;\mathrm{m^3}):
  • Trabalho W_{34}=0.
  • Variação de temperatura \Delta T_{34}=T_4-T_3\approx245{,}34-580{,}78=-335{,}44\;\mathrm{K}.
  • Variação de energia interna: \Delta U_{34}=nC_V\Delta T_{34}\approx83{,}14463\times(-335{,}44)\approx-27899{,}0\;\mathrm{J}.
  • Logo Q_{34}=\Delta U_{34}\approx-27899{,}0\;\mathrm{J} (calor retirado do gás).
4→1 (adiabática reversível, fecha o ciclo):
  • Calor Q_{41}=0.
  • Variação de energia interna: \Delta U_{41}=nC_V(T_1-T_4)\approx83{,}14463\times(380{,}78-245{,}34)\approx11270{,}0\;\mathrm{J}.
  • Trabalho realizado pelo gás: W_{41}=Q_{41}-\Delta U_{41}=-\Delta U_{41}\approx-11270{,}0\;\mathrm{J}.(negativo porque é compressão neta — trabalho feito sobre o gás).
Verificação do ciclo:
  • Soma das variações de energia interna: \sum\Delta U\approx16628{,}9+0-27899{,}0+11270{,}0\approx0 (fechamento).
  • Trabalho líquido W_{\text{líquido}}=\sum W\approx6651{,}57+13068{,}1+0-11270{,}0\approx8449{,}7\;\mathrm{J}.í
  • Calor líquido \sum Q\approx23280{,}5+13068{,}1-27899{,}0+0\approx8449{,}6\;\mathrm{J}. (confere com W_{\text{líquido}}í dentro de pequenos erros de arredondamento).

Passo 10

Preencher a Tabela 1 (valores numéricos finais de p,V,T em cada estado).
  • Estado 1:
    • p_1=0{,}250\;\mathrm{atm}=25331{,}25\;\mathrm{Pa}.
    • V_1=0{,}50\;\mathrm{m^3}.
    • T_1\approx380{,}78\;\mathrm{K}.
  • Estado 2:
    • p_2=25331{,}25\;\mathrm{Pa}.
    • V_2\approx0{,}76279\;\mathrm{m^3}.
    • T_2\approx580{,}78\;\mathrm{K}.
  • Estado 3:
    • p_3\approx12878{,}9\;\mathrm{Pa}.
    • V_3=1{,}50\;\mathrm{m^3}.
    • T_3=580{,}78\;\mathrm{K}.
  • Estado 4:
    • p_4\approx5437{,}8\;\mathrm{Pa}.
    • V_4=1{,}50\;\mathrm{m^3}.
    • T_4\approx245{,}34\;\mathrm{K}.
(Estes valores foram obtidos usando a equação dos gases ideais e a relação adiabática explicada anteriormente.)

Passo 11

Preencher a Tabela 2 (valores numéricos finais de Q, W, \Delta U para cada transformação e para o ciclo). Valores arredondados com coerência numérica:
  • Para 1\to2:
    • Q_{12}\approx23280{,}5\;\mathrm{J}.
    • W_{12}\approx6651{,}6\;\mathrm{J}.
    • \Delta U_{12}\approx16628{,}9\;\mathrm{J}.
  • Para 2\to3:
    • Q_{23}=W_{23}\approx13068{,}1\;\mathrm{J}.
    • W_{23}\approx13068{,}1\;\mathrm{J}.
    • \Delta U_{23}=0\;\mathrm{J}.
  • Para 3\to4:
    • Q_{34}=\Delta U_{34}\approx-27899{,}0\;\mathrm{J}.
    • W_{34}=0\;\mathrm{J}.
    • \Delta U_{34}\approx-27899{,}0\;\mathrm{J}.
  • Para 4\to1:
    • Q_{41}=0\;\mathrm{J}.
    • W_{41}\approx-11270{,}0\;\mathrm{J}.
    • \Delta U_{41}\approx11270{,}0\;\mathrm{J}.
  • Totais do ciclo (soma sobre os quatro trechos):
    • Q_{\text{total}} \approx 23280{,}5 +13068{,}1 -27899{,}0 +0 \approx 8449{,}6\;\mathrm{J}.
    • W_{\text{total}} \approx 6651{,}6 +13068{,}1 +0 -11270{,}0 \approx 8449{,}7\;\mathrm{J}.
    • \Delta U_{\text{total}}\approx0\;\mathrm{J} (fechamento do ciclo).
Comentário pedagógico rápido: para resolver esse tipo de tabela em prova, memorize as fórmulas para cada processo (isobárico: Q=nC_p\Delta T, W=nR\Delta T; isotérmico: W=nRT\ln(V_f/V_i), \Delta U=0; isocórico: W=0, \Delta U=nC_V\Delta T; adiabático: Q=0, \Delta U=-W) e aplique-as com cuidado e unidades coerentes.

Passo 12

Calcular a eficiência térmica do ciclo.
  • Definição: eficiência \eta é a razão entre o trabalho líquido realizado pelo dispositivo e o calor total absorvido (apenas os Q>0 contados como entrada de calor): \eta = \frac{W_{\text{líquido}}}{Q_{\text{in}}}.í
  • Aqui as entradas de calor positivas ocorrem em 1\to2 e 2\to3, então: Q_{\text{in}} = Q_{12}+Q_{23}\approx23280{,}5+13068{,}1\approx36348{,}6\;\mathrm{J}.
  • Trabalho líquido W_{\text{líquido}}\approx8449{,}7\;\mathrm{J}í (ver passo 11).
  • Logo: \eta \approx\frac{8449{,}7}{36348{,}6}\approx0{,}2325\approx23{,}3\%.
  • Interpretação rápida: o aparelho converte cerca de 23{,}3\% do calor recebido em trabalho no ciclo descrito (valor razoável para um ciclo não reversível idealizado).

Resposta

(a) n=4{,}00\;\mathrm{mol}.
(b) Diagrama p- V: 1→2 isobárica (horizontal à direita de V_1 até V_2); 2→3 isotérmica (curva decrescente de p enquanto V cresce até V_3=1{,}50\;\mathrm{m^3}); 3→4 isocórica (vertical para baixo de p_3 até p_4 mantendo V_3=V_4); 4→1 adiabática (curva que sobe à esquerda até p_1,V_1).
(c) Eficiência \eta\approx23{,}3\%.
(d) Tabela 1 (Estados: p em Pa, V em m ^3, T em K):
Estado 1: p_1=25331{,}25\;\mathrm{Pa}, V_1=0{,}50\;\mathrm{m^3}, T_1\approx380{,}78\;\mathrm{K}.
Estado 2: p_2=25331{,}25\;\mathrm{Pa}, V_2\approx0{,}76279\;\mathrm{m^3}, T_2\approx580{,}78\;\mathrm{K}.
Estado 3: p_3\approx12878{,}9\;\mathrm{Pa}, V_3=1{,}50\;\mathrm{m^3}, T_3\approx580{,}78\;\mathrm{K}.
Estado 4: p_4\approx5437{,}8\;\mathrm{Pa}, V_4=1{,}50\;\mathrm{m^3}, T_4\approx245{,}34\;\mathrm{K}.
(e) Tabela 2 (cada transformação: Q, W, \Delta U em J; ciclo total na última coluna):
1\to2: Q_{12}\approx23280{,}5, W_{12}\approx6651{,}6, \Delta U_{12}\approx16628{,}9.
2\to3: Q_{23}\approx13068{,}1, W_{23}\approx13068{,}1, \Delta U_{23}=0.
3\to4: Q_{34}\approx-27899{,}0, W_{34}=0, \Delta U_{34}\approx-27899{,}0.
4\to1: Q_{41}=0, W_{41}\approx-11270{,}0, \Delta U_{41}\approx11270{,}0.
Ciclo (somando): Q_{\text{total}}\approx8449{,}6\;\mathrm{J}, W_{\text{total}}\approx8449{,}7\;\mathrm{J}, \Delta U_{\text{total}}\approx0\;\mathrm{J}.

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