(2,5) 2) Uma mistura binária de benzeno (B) e tolueno (T) alimenta uma coluna de destilação. A alimentação contém 40 \% de benzeno a uma vazão de 5000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. O destilado contém 92 \% de benzeno e o resíduo contém 89 \% de tolueno. Determine as vazões de destilado e resíduo, a recuperação de benzeno no destilado e a recuperação de tolueno no resíduo.

Passo 1

Vamos identificar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos. O enunciado quer que a gente determine:
  • as vazões do destilado e do resíduo;
  • a recuperação de benzeno no destilado;
  • a recuperação de tolueno no resíduo.
Dados fornecidos (vou listar cada número explicitamente):
  • vazão de alimentação: \;F=5000\\ \mathrm{kg/h};
  • fração mássica de benzeno na alimentação: \;z_F^{(B)}=0{,}40 (ou 40\%);
  • fração mássica de benzeno no destilado: \;z_D^{(B)}=0{,}92 (ou 92\%);
  • fração mássica de tolueno no resíduo: \;z_W^{(T)}=0{,}89 (ou 89\%).
Observação importante: a fração mássica de benzeno no resíduo é o complemento de tolueno no resíduo, ou seja
z_W^{(B)} = 1 - z_W^{(T)} = 1 - 0{,}89 = 0{,}11.
O que vamos chamar:
  • \;D = vazão do destilado ( \mathrm{kg/h});
  • \;W = vazão do resíduo ( \mathrm{kg/h}).
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Explicando a ideia física e a equação que vamos usar (aulas rápidas):
  • Conservação de massa total (balanço global): a massa que entra pela alimentação sai pelo destilado e pelo resíduo. Logo
F = D + W.
  • Balanço de massa de um componente (aqui, benzeno): a massa de benzeno que entra com a alimentação sai com o destilado e o resíduo. Em fórmula:
F\;z_F^{(B)} = D\;z_D^{(B)} + W\;z_W^{(B)}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \;F = vazão total de alimentação ( \mathrm{kg/h});
  • \;z_F^{(B)} = fração mássica de benzeno na alimentação (adimensional);
  • \;D e \;W = vazões de destilado e resíduo ( \mathrm{kg/h});
  • \;z_D^{(B)} e \;z_W^{(B)} = frações mássicas de benzeno no destilado e resíduo.
Vamos aplicar essas equações com os números dados.

Passo 3

Escrevendo o balanço de massa para o benzeno com os valores numéricos:
F z_F^{(B)} = D z_D^{(B)} + W z_W^{(B)}.
Substituindo F=5000, z_F^{(B)}=0{,}40, z_D^{(B)}=0{,}92, z_W^{(B)}=0{,}11 e usando W = F - D:
5000 \cdot 0{,}40 = D\cdot 0{,}92 + (5000 - D)\cdot 0{,}11.
Calcule o lado esquerdo (massa de benzeno alimentada):
5000 \cdot 0{,}40 = 2000\\ \mathrm{kg/h}.
Agora desenvolvemos o lado direito:
2000 = 0{,}92D + 0{,}11\cdot 5000 - 0{,}11D.
2000 = 0{,}92D + 550 - 0{,}11D.
Combine os termos em D:
2000 = (0{,}92 - 0{,}11)D + 550.
2000 = 0{,}81D + 550.
Agora isolamos D:
0{,}81D = 2000 - 550 = 1450.
D = \frac{1450}{0{,}81}.

Passo 4

Calcule D numericamente:
D = \frac{1450}{0{,}81} \approx 1790{,}12345679\\ \mathrm{kg/h}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):
D \approx 1790{,}12\\ \mathrm{kg/h}.
Agora obtenho W pelo balanço global:
W = F - D = 5000 - 1790{,}12345679 \approx 3209{,}87654321\\ \mathrm{kg/h}.
Arredondando:
W \approx 3209{,}88\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 5

Agora vamos calcular a recuperação de benzeno no destilado. Definição:
  • recuperação de benzeno no destilado = fração da massa de benzeno na alimentação que aparece no destilado:
\text{Recuperação}_B = \frac{\text{massa de }B\text{ no destilado}}{\text{massa de }B\text{ na alimentação}} = \frac{D\;z_D^{(B)}}{F\;z_F^{(B)}}.çãçã
Substituindo números:
\text{Recuperação}_B = \frac{1790{,}12345679 \cdot 0{,}92}{5000 \cdot 0{,}40}.çã
Calcule cada parte: massa de benzeno no destilado = 1790{,}12345679 \cdot 0{,}92 \approx 1646{,}913580\\ \mathrm{kg/h}. Massa de benzeno na alimentação = 2000\\ \mathrm{kg/h} (já calculado).
\text{Recuperação}_B \approx \frac{1646{,}91358}{2000} \approx 0{,}82345679.çã
Em percentagem:
\text{Recuperação}_B \approx 82{,}345679\% \approx 82{,}35\%.çã

Passo 6

Cálculo da recuperação de tolueno no resíduo. Primeiro, massa total de tolueno na alimentação:
\text{massa de }T\text{ na alimentação} = F\;z_F^{(T)}.çã
Como z_F^{(B)}=0{,}40, temos z_F^{(T)}=1-0{,}40=0{,}60. Logo
\text{massa de }T\text{ na alimentação} = 5000 \cdot 0{,}60 = 3000\\ \mathrm{kg/h}.çã
Massa de tolueno no resíduo:
\text{massa de }T\text{ no resíduo} = W\;z_W^{(T)}.í
Substituindo W \approx 3209{,}87654321 e z_W^{(T)}=0{,}89:
\text{massa de }T\text{ no resíduo} \approx 3209{,}87654321 \cdot 0{,}89 \approx 2856{,}79012306\\ \mathrm{kg/h}.í
Agora definição de recuperação de tolueno no resíduo:
\text{Recuperação}_T = \frac{\text{massa de }T\text{ no resíduo}}{\text{massa de }T\text{ na alimentação}} = \frac{W\;z_W^{(T)}}{F\;z_F^{(T)}}.çãíçã
Substituindo:
\text{Recuperação}_T \approx \frac{2856{,}79012306}{3000} \approx 0{,}952263374.çã
Em percentagem:
\text{Recuperação}_T \approx 95{,}2263374\% \approx 95{,}23\%.çã

Passo 7

Pequeno resumo interpretativo (rápido e motivador): obtivemos as vazões coerentes com os balanços de massa e as recuperações mostram que uma boa parcela do benzeno foi levada para o destilado ( \sim82{,}35\%) e que quase todo o tolueno foi retido nos fundos ( \sim95{,}23\%). Está tudo consistente: massa total e massa de cada componente fecham.

Resposta

D \approx 1790{,}12\\ \mathrm{kg/h}
W \approx 3209{,}88\\ \mathrm{kg/h}
Recuperação de benzeno no destilado \approx 82{,}35\%
Recuperação de tolueno no resíduo \approx 95{,}23\%

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