Uma mistura de ar escoa em duto de 0,20 \mathrm{~m}^{2} a 7,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule a vazão volumétrica em \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s}. A 25^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm , estime a vazão mássica usando densidade 1,184 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados fornecidos:
  • Área da secção do duto: A = 0,20\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidade média do escoamento: v = 7,5\\ \mathrm{m/s}.
  • Condições 25^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm} (essas condições justificam a densidade fornecida).
  • Densidade dada para o ar nessas condições: \rho = 1,184\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
O enunciado pede:
  1. Calcular a vazão volumétrica em \mathrm{m^{3}/s}.
  2. Estimar a vazão mássica (vazão de massa) usando \rho = 1,184\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 2

Entender a fórmula para a vazão volumétrica. A vazão volumétrica Q (volume por tempo) para escoamento uniforme numa seção é dada por:
Q = A\,v
onde:
  • Q é a vazão volumétrica em \mathrm{m^{3}/s},
  • A é a área da seção em \mathrm{m^{2}},
  • v é a velocidade média do fluido em \mathrm{m/s}.
Intuição rápida: em tempo t o fluido avança comprimento v t, o volume que atravessa é A\cdot(vt); dividindo por t fica A v. Isso vale para escoamento estacionário e velocidade média uniforme na seção.

Passo 3

Calcular Q aplicando Q = A v. Substituindo os valores dados:
Q = 0,20 \times 7,5.
Fazendo a conta passo a passo:
0,20\times7 = 1,40,\qquad 0,20\times0,5 = 0,10,
0,20\times7,5 = 1,40+0,10 = 1,50.
Portanto
Q = 1,5\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 4

Agora a vazão mássica. A relação entre vazão mássica \dot{m}, densidade \rho e vazão volumétrica Q é:
\dot{m} = \rho\,Q
onde:
  • \dot{m} tem unidade \mathrm{kg/s},
  • \rho tem unidade \mathrm{kg/m^{3}},
  • Q tem unidade \mathrm{m^{3}/s}.
Dimensionalmente \mathrm{kg/m^{3}}\times\mathrm{m^{3}/s}=\mathrm{kg/s}, como esperamos.

Passo 5

Aplicar \dot{m}=\rho Q com os valores dados e calculados:
\dot{m} = 1,184\\ \mathrm{kg/m^{3}} \times 1,5\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Calculemos passo a passo:
1,184\times1 = 1,184,\qquad 1,184\times0,5 = 0,592,
1,184\times1,5 = 1,184 + 0,592 = 1,776.
Logo
\dot{m} = 1,776\\ \mathrm{kg/s}.
Se for desejável usar três algarismos significativos, pode-se arredondar para \dot{m}\approx 1,78\\ \mathrm{kg/s}.

Resposta

Q = 1,5\\ \mathrm{m^{3}/s}
\dot{m} = 1,776\\ \mathrm{kg/s}\\ (\approx 1,78\\ \mathrm{kg/s})

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