Uma mistura de gases ideais foi realizada de forma a atender uma demanda da indústria, conforme os dados disponíveis (Tabela abaixo). Sabendo-se que o reator principal onde a mistura será realizada opera a 442 atm e 50 K , calcule o volume do reator, V (L).
GÅS \mathrm{P}(\mathrm{atm}) \mathrm{V}(\mathrm{L}) \mathrm{T}(\mathrm{K}) n(\mathrm{~mol})
1 10 7,5 250 -
2 4 - 300 2,5
3 7 - 111 1,8
4 1 55 514 -
5 0,5 24 400 -
6 18 12 - 4,1

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos (peguei estes valores da tabela do enunciado):
  • Pede: calcular o volume do reator V em litros quando a mistura estiver a P=442\\ \text{atm} e T=50\\ \text{K}.
  • Dados da tabela (cada linha: gás / P (atm) / V (L) / T (K) / n (mol)):
    • Gás 1: P_1=10\\ \text{atm}, V_1=7,5\\ \text{L}, T_1=250\\ \text{K}, n_1= (não dado)
    • Gás 2: P_2=4\\ \text{atm}, V_2= (não dado), T_2=300\\ \text{K}, n_2=2,5\\ \text{mol}
    • Gás 3: P_3=7\\ \text{atm}, V_3= (não dado), T_3=111\\ \text{K}, n_3=1,8\\ \text{mol}
    • Gás 4: P_4=1\\ \text{atm}, V_4=55\\ \text{L}, T_4=514\\ \text{K}, n_4= (não dado)
    • Gás 5: P_5=0,5\\ \text{atm}, V_5=24\\ \text{L}, T_5=400\\ \text{K}, n_5= (não dado)
    • Gás 6: P_6=18\\ \text{atm}, V_6=12\\ \text{L}, T_6= (não dado), n_6=4,1\\ \text{mol}
Resumo do que falta calcular para obter o volume do reator: preciso primeiro somar todas as quantidades de matéria (moles) dos seis gases, por isso calcularei n para os gases com n faltando usando os dados da tabela e a equação dos gases ideais; depois usarei o n_{\text{total}} para calcular V em P=442\\ \text{atm} e T=50\\ \text{K}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rapidinha, sem drama):
  • A equação dos gases ideais é
PV = nRT,
onde:
  • P é a pressão (aqui em \text{atm}),
  • V é o volume (aqui em \text{L}),
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases ideais na forma compatível com as unidades acima,
  • T é a temperatura absoluta em \text{K}.
  • A constante R que usaremos (em unidades \text{L}\cdot\text{atm}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}) é
R = 0,082057\\ \text{L}\,\text{atm}\,\text{K}^{-1}\,\text{mol}^{-1}.
  • Para encontrar um número de mols quando soubermos P,V,T usamos
n=\frac{PV}{RT}.
  • Para encontrar o volume do reator, com n total e sabendo P e T, usamos
V=\frac{nRT}{P}.
Agora vamos aplicar isso passo a passo aos gases da tabela.

Passo 3

Calcular n_1 (Gás 1) usando \,n=\dfrac{PV}{RT}:
n_1=\frac{P_1 V_1}{R T_1}=\frac{10\cdot 7,5}{0,082057\cdot 250}.
Cálculo intermediário:
\text{numerador}=10\cdot 7,5=75, \qquad \text{denominador}=0,082057\cdot 250=20,51425.
Portanto
n_1=\frac{75}{20,51425}\approx 3,656\\ \text{mol}.

Passo 4

Registrar n_2 (Gás 2): foi dado na tabela,
n_2=2,5\\ \text{mol}.

Passo 5

Registrar n_3 (Gás 3): foi dado na tabela,
n_3=1,8\\ \text{mol}.

Passo 6

Calcular n_4 (Gás 4) usando \,n=\dfrac{PV}{RT}:
n_4=\frac{P_4 V_4}{R T_4}=\frac{1\cdot 55}{0,082057\cdot 514}.
Cálculo intermediário:
\text{denominador}=0,082057\cdot 514=42,177298,
logo
n_4=\frac{55}{42,177298}\approx 1,304\\ \text{mol}.

Passo 7

Calcular n_5 (Gás 5) usando \,n=\dfrac{PV}{RT}:
n_5=\frac{P_5 V_5}{R T_5}=\frac{0,5\cdot 24}{0,082057\cdot 400}.
Cálculo intermediário:
\text{numerador}=0,5\cdot 24=12, \qquad \text{denominador}=0,082057\cdot 400=32,8228,
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n_5=\frac{12}{32,8228}\approx 0,366\\ \text{mol}.

Passo 8

Registrar n_6 (Gás 6): foi dado na tabela,
n_6=4,1\\ \text{mol}.

Passo 9

Somar todos os mols para obter n_{\text{total}}:
n_{\text{total}}=n_1+n_2+n_3+n_4+n_5+n_6.
Substituindo os valores calculados/fornecidos:
n_{\text{total}}\approx 3,656 + 2,5 + 1,8 + 1,304 + 0,366 + 4,1 = 13,725\\ \text{mol}.
(Arredondei para três casas decimais na soma para manter coerência com os dados.)

Passo 10

Calcular o volume do reator com P_{\text{reator}}=442\\ \text{atm} e T_{\text{reator}}=50\\ \text{K} usando
V=\frac{n_{\text{total}} R T}{P}.
Substituindo:
V=\frac{13,725\cdot 0,082057\cdot 50}{442}.
Cálculos intermediários:
13,725\cdot 0,082057 \approx 1,1263, \qquad 1,1263\cdot 50 = 56,315, \qquad V=\frac{56,315}{442}\approx 0,127\\ \text{L}.

Passo 11

Interpretação e checagem rápida: o volume obtido é pequeno porque a pressão do reator é muito alta ( 442\\ \text{atm}) e a temperatura é baixa ( 50\\ \text{K}); V\approx 0,127\\ \text{L} corresponde a cerca de 127\\ \text{mL}. Todo passo usou a equação dos gases ideais com R compatível com as unidades \text{L}, \text{atm}, \text{K}, \text{mol}.

Resposta

V=0,127\\ \text{L}

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