Uma mistura gasosa contém hidrogênio, nitrogênio e argônio em quantidades equimoleculares. Calcule a composição do gás que inicialmente efunde quando a mistura é colocada em um recipiente dotado de uma parede delgada na qual existe um pequeno orifício.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a composição do gás que inicialmente efunde (isto é, passa primeiro pelo pequeno orifício) quando uma mistura contendo hidrogênio, nitrogênio e argônio em quantidades equimoleculares é colocada num recipiente com uma parede fina com um orifício pequeno.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
x_{\text{H}_2}=x_{\text{N}_2}=x_{\text{Ar}}=\tfrac{1}{3}
(isto é, frações molares iniciais iguais). O orifício é pequeno (regime de efusão), e assumimos temperatura uniforme e comportamento de gás ideal. Não há mais dados numéricos no enunciado; precisamos usar as massas molares típicas dos gases.

Passo 2

Entendendo o que controla quem efunde mais: vamos estudar a física por trás da efusão de gases (explicação didática e sem pular etapas).
Quando o orifício é pequeno comparado ao caminho livre médio das moléculas, cada espécie i contribui para o fluxo através do orifício com uma taxa proporcional ao número de moléculas que atingem a superfície por unidade de tempo. A teoria cinética diz que o fluxo molecular (número por área por tempo) é
\Phi_i=\tfrac{1}{4}\,n_i\langle v_i\rangle,
onde:
  • n_i é a densidade numérica (número de moléculas por volume) da espécie i;
  • \langle v_i\rangle é a velocidade média das moléculas da espécie i.
    A constante \tfrac{1}{4} vem da geometria estatística da distribuição de velocidades (não precisamos derivá‑la aqui, só lembrar que é a mesma para todas as espécies). Portanto, a taxa de efusão (mol/s ou número/s) de cada espécie é proporcional a n_i\langle v_i\rangle.

Passo 3

Precisando a expressão da velocidade média: pela distribuição de Maxwell–Boltzmann, a velocidade média de moléculas de massa molar M_i (unidades: kg·mol^{-1} ou g·mol^{-1} — usaremos a mesma unidade consistente) a temperatura T é
\langle v_i\rangle=\sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M_i}},
onde:
  • R é a constante dos gases ideais;
  • T é a temperatura absoluta;
  • M_i é a massa molar da espécie i (na unidade apropriada).
    Note que, para todas as espécies na mesma temperatura T, \langle v_i\rangle depende apenas de M_i via \sqrt{1/M_i}. Assim a taxa de efusão de i é proporcional a
\text{taxa}_i \propto n_i\sqrt{\dfrac{1}{M_i}}.

Passo 4

Agora usemos os dados do problema: inicialmente a mistura é equimolecular, então as densidades são proporcionais às frações molares iniciais; como x_i=\tfrac{1}{3} para cada espécie, temos n_{\text{H}_2}=n_{\text{N}_2}=n_{\text{Ar}} (as três densidades iniciais iguais). Portanto, as taxas relativas de efusão são proporcionais a \sqrt{1/M_i} apenas. Vamos anotar as massas molares (valores usuais em g·mol^{-1}):
M_{\text{H}_2}=2,\qquad M_{\text{N}_2}=28,\qquad M_{\text{Ar}}=40.

Passo 5

Calculemos os fatores relativos \dfrac{1}{\sqrt{M_i}} para cada espécie (uso de aproximações numéricas explicadas passo a passo):
\frac{1}{\sqrt{M_{\text{H}_2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071,
\frac{1}{\sqrt{M_{\text{N}_2}}}=\frac{1}{\sqrt{28}}\approx 0,1890,
\frac{1}{\sqrt{M_{\text{Ar}}}}=\frac{1}{\sqrt{40}}\approx 0,1581.
Somamos esses valores para normalizar e obter frações molares no fluxo efundido:
S=0,7071+0,1890+0,1581\approx 1,0542.

Passo 6

Agora obtemos as frações molares no gás que inicialmente efunde dividindo cada contribuição por S:
x_{\text{H}_2}^{\text{efusão}}=\frac{0,7071}{1,0542}\approx 0,671,ã
x_{\text{N}_2}^{\text{efusão}}=\frac{0,1890}{1,0542}\approx 0,179,ã
x_{\text{Ar}}^{\text{efusão}}=\frac{0,1581}{1,0542}\approx 0,150.ã
Interpretando: o hidrogênio, sendo muito mais leve, efunde muito mais rapidamente que os demais, de modo que a mistura inicial que sai pelo orifício fica enriquecida em \text{H}_2.

Resposta

x_{\text{H}_2}^{\text{efusão}}=0,671ã (67,1%)
x_{\text{N}_2}^{\text{efusão}}=0,179ã (17,9%)
x_{\text{Ar}}^{\text{efusão}}=0,150ã (15,0%)

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