A massa de 0,87 grama de um composto
, na pressão de 120 Torr e na temperatura de
, efunde através de um orifício de forma circular e de raio igual a
em 30 minutos. Qual a massa molar do composto X?
Passo 1
O enunciado pede a massa molar do composto
. Dados fornecidos:
,
,
, raio do orifício
, tempo
.
Vou listar as conversões de unidades (essas conversões são importantes para usar fórmulas físicas consistentes):
.\n
. Usarei
, então
Área do orifício (círculo):
Tempo:
.
Passo 2
Mini-aula rápida (didática e sem pular etapas): teoria da efusão usada aqui.
- Efusão de um gás através de um orifício pequeno (comparado com o caminho livre médio) é tratada pela teoria cinética dos gases. A quantidade de moléculas que atravessa por unidade de área e por unidade de tempo (fluxo de moléculas) é dada por
onde
é a densidade numérica de moléculas (número de moléculas por volume) e
é a velocidade média molecular (média aritmética dos módulos das velocidades).
- É útil trabalhar em termos molares. A concentração molar (mol por volume) do gás é
onde
é a constante universal dos gases (
) e
a temperatura em kelvin. A densidade numérica de moléculas é
, mas podemos trabalhar diretamente com o fluxo molar (mol por área por tempo):
- A velocidade média
para uma distribuição de Maxwell-Boltzmann é
onde
é a massa molar em
. Expliquei:
tem unidades de energia por mol; dividir por
(kg/mol) dá (J/kg) que tem mesmas unidades de
; a raiz dá m/s.
- O fluxo molar através de um orifício de área
é . A partir daí a vazão mássica (kg/s) é . Fazendo as substituições:
e portanto
Explicação das variáveis:
em
,
em Pa,
em
,
em
,
em K. Esta expressão dá
em kg/s.
Passo 3
Relacionamento com a massa medida e resolução para
.
A massa total efundida em tempo
é
Isolando
: primeiro escrevemos em termos de
Elevando ao quadrado:
Essa fórmula permite calcular
diretamente dos dados medidos.
Passo 4
Calcular numericamente cada termo (conversões e área explicitadas):
Área do orifício:
Valores numéricos reunidos:
,
,
,
,
,
.
Passo 5
Substituição na fórmula. Primeiro calculo o fator
:
Calcule
:
Multiplico por
:
Agora
Elevo ao quadrado:
Calculo o outro fator
:
Finalmente multiplico:
Passo 6
Converto para unidades mais usuais (g mol
):
Arredondando de forma razoável para duas ou três algarismos significativos,
.