A massa de 0,87 grama de um composto X, na pressão de 120 Torr e na temperatura de 50^{\circ} \mathrm{C}, efunde através de um orifício de forma circular e de raio igual a 0,05 \mathrm{~mm} em 30 minutos. Qual a massa molar do composto X?

Passo 1

O enunciado pede a massa molar do composto X. Dados fornecidos:
m_{\text{efundida}}=0,87\\ \text{g}, p=120\\ \text{Torr}, T=50^\circ\text{C}, raio do orifício r=0,05\\ \text{mm}, tempo t=30\\ \text{min}.
Vou listar as conversões de unidades (essas conversões são importantes para usar fórmulas físicas consistentes):
m_{\text{efundida}}=0,87\\ \text{g}=0,00087\\ \text{kg}.\n
p=120\\ \text{Torr}. Usarei 1\\ \text{Torr}=133{,}322\\ \text{Pa}, então
p = 120\times 133{,}322\\ \text{Pa}=15998{,}64\\ \text{Pa}.
T=50^\circ\text{C}=50+273{,}15=323{,}15\\ \text{K}.\n
r=0{,}05\\ \text{mm}=0{,}05\times 10^{-3}\\ \text{m}=5\times 10^{-5}\\ \text{m}.\n
Área do orifício (círculo):
A=\pi r^{2}=\pi(5\times 10^{-5})^{2}.
Tempo: t=30\\ \text{min}=1800\\ \text{s}.

Passo 2

Mini-aula rápida (didática e sem pular etapas): teoria da efusão usada aqui.
  • Efusão de um gás através de um orifício pequeno (comparado com o caminho livre médio) é tratada pela teoria cinética dos gases. A quantidade de moléculas que atravessa por unidade de área e por unidade de tempo (fluxo de moléculas) é dada por
\Phi_{\text{moléculas}}=\frac{1}{4}\,n_{\text{num}}\;\overline{c},é
onde n_{\text{num}} é a densidade numérica de moléculas (número de moléculas por volume) e \overline{c} é a velocidade média molecular (média aritmética dos módulos das velocidades).
  • É útil trabalhar em termos molares. A concentração molar (mol por volume) do gás é
c_{\text{mol}}=\frac{p}{R\,T},
onde R é a constante universal dos gases ( R=8{,}3145\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}) e T a temperatura em kelvin. A densidade numérica de moléculas é n_{\text{num}}=N_A c_{\text{mol}}, mas podemos trabalhar diretamente com o fluxo molar (mol por área por tempo):
\Phi_{\text{mol}}=\frac{1}{4}\,c_{\text{mol}}\;\overline{c}=\frac{1}{4}\,\frac{p}{R T}\;\overline{c}.
  • A velocidade média \overline{c} para uma distribuição de Maxwell-Boltzmann é
\overline{c}=\sqrt{\frac{8 R T}{\pi M}},
onde M é a massa molar em \text{kg mol}^{-1}. Expliquei: R T tem unidades de energia por mol; dividir por M (kg/mol) dá (J/kg) que tem mesmas unidades de (\text{m}^2/\text{s}^2); a raiz dá m/s.
  • O fluxo molar através de um orifício de área A é \dot{n}=A\,\Phi_{\text{mol}}. A partir daí a vazão mássica (kg/s) é \dot{m}=\dot{n}\,M. Fazendo as substituições:
\dot{n}=A\cdot\frac{1}{4}\frac{p}{R T}\sqrt{\frac{8 R T}{\pi M}}
e portanto
\dot{m}=\dot{n}\,M=\frac{A p}{4}\sqrt{\frac{8 M}{\pi R T}}.
Explicação das variáveis: A em \text{m}^2, p em Pa, M em \text{kg mol}^{-1}, R em \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}, T em K. Esta expressão dá \dot{m} em kg/s.

Passo 3

Relacionamento com a massa medida e resolução para M.
A massa total efundida em tempo t é
m_{\text{tot}}=\dot{m}\,t=\frac{A p}{4}\sqrt{\frac{8 M}{\pi R T}}\;t.
Isolando M: primeiro escrevemos em termos de \sqrt{M}
\sqrt{M}=\frac{4 m_{\text{tot}}}{A p t}\sqrt{\frac{\pi R T}{8}}.
Elevando ao quadrado:
M=\left(\frac{4 m_{\text{tot}}}{A p t}\right)^{2}\frac{\pi R T}{8}.
Essa fórmula permite calcular M diretamente dos dados medidos.

Passo 4

Calcular numericamente cada termo (conversões e área explicitadas):
Área do orifício:
A=\pi r^{2}=\pi(5\times 10^{-5})^{2}=\pi\times 2{,}5\times 10^{-9}=7{,}8539816\times 10^{-9}\\ \text{m}^{2}.
Valores numéricos reunidos:
m_{\text{tot}}=0{,}00087\\ \text{kg}, p=15998{,}64\\ \text{Pa}, t=1800\\ \text{s}, R=8{,}3145\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}, T=323{,}15\\ \text{K}, A=7{,}8539816\times 10^{-9}\\ \text{m}^{2}.

Passo 5

Substituição na fórmula. Primeiro calculo o fator \dfrac{4 m_{\text{tot}}}{A p t}:
Calcule A p:
A p = 7{,}8539816\times 10^{-9}\times 15998{,}64 = 1{,}25663706\times 10^{-4}.
Multiplico por t:
A p t = 1{,}25663706\times 10^{-4}\times 1800 = 0{,}226194671.
Agora
\frac{4 m_{\text{tot}}}{A p t}=\frac{4\times 0{,}00087}{0{,}226194671}=\frac{0{,}00348}{0{,}226194671}=0{,}015379\\ (\text{aprox.}).
Elevo ao quadrado:
\left(\frac{4 m_{\text{tot}}}{A p t}\right)^{2}=0{,}015379^{2}=0{,}0002365\\ (\text{aprox.}).
Calculo o outro fator \dfrac{\pi R T}{8}:
\pi R T = \pi\times 8{,}3145\times 323{,}15 \approx 8440{,}928\quad\Rightarrow\quad \frac{\pi R T}{8}\approx 1055{,}116.
Finalmente multiplico:
M=0{,}0002365\times 1055{,}116\approx 0{,}2497\\ \text{kg mol}^{-1}.

Passo 6

Converto para unidades mais usuais (g mol ^{-1}):
M\approx 0{,}2497\\ \text{kg mol}^{-1}=249{,}7\\ \text{g mol}^{-1}.
Arredondando de forma razoável para duas ou três algarismos significativos, M\approx 250\\ \text{g mol}^{-1}.

Resposta

250\\ \text{g mol}^{-1}

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