Uma extremidade de um capilar de 10 cm de comprimento e de 2 mm de diâmetro é conectada a um reservatório de água. A pressão da água nessa extremidade é mantida constante e igual a 2 atm ; o coeficiente de viscosidade da água é de
. Qual o volume de água que sai pela extremidade do capilar na unidade de tempo?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara.
Dados:
O que é pedido:
- O volume de água que sai pela outra extremidade do capilar por unidade de tempo (ou seja, a vazão volumétrica
).
Observação necessária (não pedida, mas usada na solução): vou assumir que a outra extremidade do capilar está aberta à atmosfera, portanto a pressão de saída é
. Isso nos dá uma diferença de pressão
. Se isso não fosse o caso no enunciado original, seria preciso essa informação; aqui assumimos abertura à atmosfera porque é o caso mais comum.
Passo 2
Converter todas as unidades para o SI e explicar a conversão da viscosidade.
- Converter viscosidade: 1 poise (
) no sistema cgs vale . Então
- Raio do tubo (metade do diâmetro):
- Diferença de pressão (assumindo saída à pressão atmosférica):
Resumo em SI que usaremos:
Passo 3
Escolher o método e justificar. Vou usar a lei de Hagen–Poiseuille (a fórmula clássica para vazão laminar em um tubo cilíndrico), porque o enunciado fornece viscosidade e dimensão de um capilar — isto é típico para aplicar Poiseuille. A fórmula é simples e bem prática na prova.
A lei de Hagen–Poiseuille para fluxo estacionário, laminar, incompressível e newtoniano num tubo circular dá a vazão volumétrica média
por:
Explicando cada símbolo:
-
é a vazão volumétrica (m³/s), o que nos pediram; -
é o raio interno do tubo (m); -
é a diferença de pressão entre entrada e saída (Pa); -
é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa·s); -
é o comprimento do tubo onde ocorre a queda de pressão (m); - os fatores
e vêm da solução analítica do perfil de velocidades (não precisa decorar a derivação inteira na prova, mas precisa lembrar a fórmula).
Condição importante: essa fórmula vale quando o escoamento é laminar (perfil parabólico) e as hipóteses anteriores são razoáveis. Depois de calcular
aplicando a fórmula, vamos verificar se a hipótese de escoamento laminar se mantém (checando o número de Reynolds). Se não se mantiver, comentarei a implicação.
Passo 4
Aplicar a fórmula: colocar os valores na expressão de Poiseuille e calcular passo a passo.
Primeiro calcular
:
Substituindo na fórmula:
Calcular numerador e denominador separadamente:
Agora a divisão:
Converter para unidades mais familiares:
(Só para referência:
.)
Passo 5
Verificar a validade da hipótese de escoamento laminar calculando o número de Reynolds. Se o escoamento não for laminar, a fórmula de Poiseuille não é válida na prática.
O número de Reynolds médio para um tubo é
onde
é a velocidade média e
é a área da secção transversal. Usamos
da água aproximadamente
.
Calcular
:
Velocidade média:
Número de Reynolds:
Interpretação:
é muito maior que o valor típico de transição (da ordem de
). Portanto o escoamento seria totalmente turbulento na prática, e a lei de Poiseuille (válida para escoamento laminar) não é aplicável de forma rigorosa nesse regime. Isso significa que o valor calculado por Poiseuille superestima a vazão real quando
é tão grande num tubo tão curto e largo.
No entanto, muitos exercícios de prova pedem explicitamente (ou implicitamente) uso de Poiseuille para capilares quando dão viscosidade em poise e dimensões assim — então fizemos isso, e depois mostramos a limitação pela verificação de Reynolds.
Passo 6
Conclusão prática e incentivo: usamos a fórmula clássica, convertendo unidades com cuidado, e mostramos também uma checagem de validade. Se for uma prova, fique atento: se o enunciado pedir explicitamente Poiseuille, entregue o valor calculado; se o enunciado pedir comentar validade, diga que o escoamento seria turbulento e que Poiseuille não se aplica estritamente.