Uma extremidade de um capilar de 10 cm de comprimento e de 2 mm de diâmetro é conectada a um reservatório de água. A pressão da água nessa extremidade é mantida constante e igual a 2 atm ; o coeficiente de viscosidade da água é de 0,01 \mathrm{P}. Qual o volume de água que sai pela extremidade do capilar na unidade de tempo?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara.
Dados:
\text{comprimento do capilar } L=10\\ \text{cm}=0,10\\ \mathrm{m}
\text{diâmetro do capilar } D=2\\ \text{mm}=0,002\\ \mathrm{m}â
\text{pressão na extremidade conectada ao reservatório } P_{\text{in}}=2\\ \text{atm}ãó
\text{coeficiente de viscosidade da água } \eta=0,01\\ \mathrm{P}á
O que é pedido:
  • O volume de água que sai pela outra extremidade do capilar por unidade de tempo (ou seja, a vazão volumétrica Q).
Observação necessária (não pedida, mas usada na solução): vou assumir que a outra extremidade do capilar está aberta à atmosfera, portanto a pressão de saída é P_{\text{out}}=1\\ \text{atm}. Isso nos dá uma diferença de pressão \Delta P=P_{\text{in}}-P_{\text{out}}=1\\ \text{atm}. Se isso não fosse o caso no enunciado original, seria preciso essa informação; aqui assumimos abertura à atmosfera porque é o caso mais comum.

Passo 2

Converter todas as unidades para o SI e explicar a conversão da viscosidade.
  • Converter viscosidade: 1 poise ( \mathrm{P}) no sistema cgs vale 0,1\\ \mathrm{Pa\cdot s}. Então
\eta=0,01\\ \mathrm{P}=0,01\times0,1\\ \mathrm{Pa\cdot s}=0,001\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Raio do tubo (metade do diâmetro):
r=\frac{D}{2}=\frac{0,002}{2}=0,001\\ \mathrm{m}.
  • Diferença de pressão (assumindo saída à pressão atmosférica):
\Delta P=1\\ \text{atm}=1,013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Resumo em SI que usaremos:
L=0,10\\ \mathrm{m},\qquad r=0,001\\ \mathrm{m},\qquad \eta=0,001\\ \mathrm{Pa\cdot s},\qquad \Delta P=1,013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Escolher o método e justificar. Vou usar a lei de Hagen–Poiseuille (a fórmula clássica para vazão laminar em um tubo cilíndrico), porque o enunciado fornece viscosidade e dimensão de um capilar — isto é típico para aplicar Poiseuille. A fórmula é simples e bem prática na prova.
A lei de Hagen–Poiseuille para fluxo estacionário, laminar, incompressível e newtoniano num tubo circular dá a vazão volumétrica média Q por:
Q=\frac{\pi r^{4}\,\Delta P}{8\,\eta\,L}.
Explicando cada símbolo:
  • Q é a vazão volumétrica (m³/s), o que nos pediram;
  • r é o raio interno do tubo (m);
  • \Delta P é a diferença de pressão entre entrada e saída (Pa);
  • \eta é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa·s);
  • L é o comprimento do tubo onde ocorre a queda de pressão (m);
  • os fatores \pi e 8 vêm da solução analítica do perfil de velocidades (não precisa decorar a derivação inteira na prova, mas precisa lembrar a fórmula).
Condição importante: essa fórmula vale quando o escoamento é laminar (perfil parabólico) e as hipóteses anteriores são razoáveis. Depois de calcular Q aplicando a fórmula, vamos verificar se a hipótese de escoamento laminar se mantém (checando o número de Reynolds). Se não se mantiver, comentarei a implicação.

Passo 4

Aplicar a fórmula: colocar os valores na expressão de Poiseuille e calcular passo a passo.
Primeiro calcular r^{4}:
r^{4}=(0,001)^{4}=1,0\times10^{-12}\\ \mathrm{m^{4}}.
Substituindo na fórmula:
Q=\frac{\pi \cdot (1,0\times10^{-12})\cdot(1,013\times10^{5})}{8\cdot(0,001)\cdot(0,10)}.
Calcular numerador e denominador separadamente:
\text{numerador}=\pi \times 1,0\times10^{-12}\times1,013\times10^{5}=\pi\times1,013\times10^{-7}\approx3,183\times10^{-7}.
\text{denominador}=8\times0,001\times0,10=8,0\times10^{-4}.
Agora a divisão:
Q=\frac{3,183\times10^{-7}}{8,0\times10^{-4}} \approx 3,979\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Converter para unidades mais familiares:
Q\approx 3,979\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/s}=0,3979\\ \mathrm{L/s}\approx 23,87\\ \mathrm{L/min}.
(Só para referência: 1\\ \mathrm{m^{3}/s}=1000\\ \mathrm{L/s}.)

Passo 5

Verificar a validade da hipótese de escoamento laminar calculando o número de Reynolds. Se o escoamento não for laminar, a fórmula de Poiseuille não é válida na prática.
O número de Reynolds médio para um tubo é
\mathrm{Re}=\frac{\rho\, v_{\text{médio}}\, D}{\eta},é
onde v_{\text{médio}}=Q/Aé é a velocidade média e A=\pi r^{2} é a área da secção transversal. Usamos \rho da água aproximadamente \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Calcular A:
A=\pi r^{2}=\pi(0,001)^{2}=\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}\approx3,142\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
Velocidade média:
v_{\text{médio}}=\frac{Q}{A}=\frac{3,979\times10^{-4}}{3,142\times10^{-6}}\approx126,6\\ \mathrm{m/s}.é
Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{1000\times126,6\times0,002}{0,001}\approx2,53\times10^{5}.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx2{,}5\times10^{5} é muito maior que o valor típico de transição (da ordem de 2000). Portanto o escoamento seria totalmente turbulento na prática, e a lei de Poiseuille (válida para escoamento laminar) não é aplicável de forma rigorosa nesse regime. Isso significa que o valor calculado por Poiseuille superestima a vazão real quando \Delta P é tão grande num tubo tão curto e largo.
No entanto, muitos exercícios de prova pedem explicitamente (ou implicitamente) uso de Poiseuille para capilares quando dão viscosidade em poise e dimensões assim — então fizemos isso, e depois mostramos a limitação pela verificação de Reynolds.

Passo 6

Conclusão prática e incentivo: usamos a fórmula clássica, convertendo unidades com cuidado, e mostramos também uma checagem de validade. Se for uma prova, fique atento: se o enunciado pedir explicitamente Poiseuille, entregue o valor calculado; se o enunciado pedir comentar validade, diga que o escoamento seria turbulento e que Poiseuille não se aplica estritamente.

Resposta

Q\approx 3,98\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/s}=0,398\\ \mathrm{L/s}\approx23,9\\ \mathrm{L/min}

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