Uma mistura líquida de benzeno e tolueno contém 55,0 \% em massa de benzeno. Uma parte desta mistura é evaporada, gerando um vapor que contém 85,0 \% de benzeno e um líquido residual que contém 10,6 \% de benzeno (percentagens mássicas). Suponha que o processo é operado de forma contínua e em estado estacionário, com uma vazão de alimentação de 100,0 \mathrm{kg} / \mathrm{h} da mistura. Sejam m_{v}(\mathrm{~kg} / \mathrm{h}) e m_{l}(\mathrm{~kg} / \mathrm{h}) as vazões mássicas das correntes de produto vapor e líquido, respectivamente. Desenhe e rotule um fluxograma do processo, e escreva e resolva os balanços de massa total e de benzeno para determinar os valores de m_{v} e m_{l}. Para cada balanço, estabeleça que termos da equação geral do balanço (acúmulo = entrada + geração saída - consumo) você descartou e por que motivo. (R. m_{v}=59,68 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} ; m_{l}=40,32 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} )

Passo 1

O enunciado dá uma alimentação contínua de uma mistura benzeno+tolueno com vazão mássica 100,0\\ \mathrm{kg/h} e composição mássica de benzeno 55,0\%. Parte dessa alimentação é evaporada, gerando duas correntes produto em estado estacionário: um vapor com 85,0\% em massa de benzeno e um líquido residual com 10,6\% em massa de benzeno. As incógnitas são as vazões mássicas das correntes vapor e líquido, que vamos chamar de m_{v} e m_{l} (ambas em \mathrm{kg/h}). O problema pede que eu desenhe e rotule um fluxograma do processo, escreva e resolva os balanços de massa total e de benzeno, e que eu diga quais termos do balanço geral foram descartados e por quê.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Alimentação (feed): }F=100{,}0\\ \mathrm{kg/h},\quad \text{composição de benzeno }x_F=55{,}0\%=0{,}550.\\\ &\text{Vapor (produto): composição de benzeno }x_v=85{,}0\%=0{,}850,\\ \text{vazão }m_v\\ (\mathrm{kg/h}).\\\ &\text{Líquido (resíduo): composição de benzeno }x_l=10{,}6\%=0{,}106,\\ \text{vazão }m_l\\ (\mathrm{kg/h}).\\\ &\text{Estado: processo contínuo, estado estacionário. Não há reação química.} \end{aligned}çãçãçããííçããíáãáçãí

Passo 2

Fluxograma (descrição em texto/ASCII rotulada):
Feed: F=100{,}0\\ \mathrm{kg/h}, x_F=0{,}550
|
|----> Vapor: m_v\\ \mathrm{kg/h}, x_v=0{,}850
|
----> Líquido: m_l\\ \mathrm{kg/h}, x_l=0{,}106
Em palavras: a corrente de alimentação entra no processo e se separa em duas correntes de saída, uma vapor e uma líquida, com vazões m_v e m_l e composições indicadas.

Passo 3

Explicação do balanço geral de massa (aulas rápidas e claras):
A equação geral de balanço de qualquer propriedade conservada (como massa total ou massa de um componente) é, em forma usual:
\text{acúmulo} = \text{entrada} + \text{geração} - \text{saída} - \text{consumo}.úçãí
  • \text{acúmulo}ú é a taxa de mudança da quantidade armazenada no sistema ( \mathrm{kg/h}). Em regime estacionário, a quantidade armazenada não muda, então \text{acúmulo}=0ú.
  • \text{geração}çã e \text{consumo} aparecem se houver reação química que crie ou consuma a espécie; aqui não há reação, então ambos são zero para massa total e para massa de benzeno.
  • Assim, em nosso caso (estado estacionário, sem reação), o balanço reduz-se a:
0 = \text{entrada} - \text{saída},í
ou seja, entrada = saída. Para massa total: a vazão de alimentação iguala a soma das vazões dos produtos. Para benzeno (componente): taxa de benzeno na alimentação iguala soma das taxas de benzeno nas saídas.

Passo 4

Balanço de massa total (escolha de termos descartados e por quê):
  • Termo acúmulo: descartado porque o enunciado diz “estado estacionário” \Rightarrow acúmulo =0.
  • Termos geração e consumo: descartados porque massa não é gerada nem consumida por reação química (não há reação) \Rightarrow geração = consumo =0.
    Portanto usamos apenas entradas e saídas.
Escrevendo o balanço total (entrada = saídas):
F = m_v + m_l.
Substituindo F=100{,}0\\ \mathrm{kg/h}:
100{,}0 = m_v + m_l. \tag{1}

Passo 5

Manipulação algébrica a partir do balanço total para reduzir incógnitas:
Da equação (1) podemos isolar uma vazão em função da outra; por exemplo:
m_l = 100{,}0 - m_v. \tag{2}
Isso é útil para substituir no balanço de benzeno e obter somente uma equação em m_v.

Passo 6

Balanço de massa do componente benzeno (termos descartados e por quê):
Aplicamos novamente a equação geral do balanço para a massa de benzeno.
  • Termo acúmulo: descartado por estado estacionário \Rightarrow acúmulo =0.
  • Termos geração e consumo: descartados porque não há reação química produzindo ou consumindo benzeno \Rightarrow geração = consumo =0.
    Logo, entrada de benzeno = saídas de benzeno.
Taxa de benzeno na alimentação:
\dot{m}_{B,F} = x_F \, F = 0{,}550 \times 100{,}0 = 55{,}0\\ \mathrm{kg/h}.
Taxa de benzeno no vapor:
\dot{m}_{B,v} = x_v \, m_v = 0{,}850\, m_v.
Taxa de benzeno no líquido:
\dot{m}_{B,l} = x_l \, m_l = 0{,}106\, m_l.
Balanço de benzeno (entrada = saídas):
55{,}0 = 0{,}850\, m_v + 0{,}106\, m_l. \tag{3}

Passo 7

Substituição de (2) em (3) para resolver m_v passo a passo:
Substituímos m_l = 100{,}0 - m_v em (3):
55{,}0 = 0{,}850\, m_v + 0{,}106\,(100{,}0 - m_v).
Desenvolvendo o produto:
55{,}0 = 0{,}850\, m_v + 0{,}106\times 100{,}0 - 0{,}106\, m_v.
Calculando 0{,}106\times 100{,}0:
0{,}106\times 100{,}0 = 10{,}6.
Então:
55{,}0 = 0{,}850\, m_v + 10{,}6 - 0{,}106\, m_v.
Agrupando os termos em m_v (somando coeficientes):
55{,}0 = (0{,}850 - 0{,}106)\, m_v + 10{,}6.
Calcule o coeficiente:
0{,}850 - 0{,}106 = 0{,}744.
Isolando o termo com m_v:
55{,}0 - 10{,}6 = 0{,}744\, m_v.
Calculando a diferença:
44{,}4 = 0{,}744\, m_v.
Finalmente, resolvendo para m_v:
m_v = \dfrac{44{,}4}{0{,}744}.
Fazendo a divisão (procedimento passo a passo mental ou papel):
m_v \approx 59{,}67795698\\ \mathrm{kg/h}.
Arredondando de forma apropriada (os dados têm três dígitos significativos), tomamos:
m_v = 59{,}68\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 8

Cálculo de m_l usando (2) e verificação do balanço:
Usando m_l = 100{,}0 - m_v:
m_l = 100{,}0 - 59{,}67795698 \approx 40{,}32204302\\ \mathrm{kg/h}.
Arredondando consistentemente:
m_l = 40{,}32\\ \mathrm{kg/h}.
Verificação rápida do balanço de benzeno (checar se a soma das frações vezes as vazões dá 55,0 kg/h):
0{,}850\times 59{,}68 + 0{,}106\times 40{,}32 \approx 50{,}728 + 4{,}272 = 55{,}000\\ \mathrm{kg/h},
o que confirma que os valores satisfazem o balanço de benzeno (pequenas diferenças de arredondamento desprezíveis).

Resposta

m_{v}=59{,}68\\ \mathrm{kg/h}
m_{l}=40{,}32\\ \mathrm{kg/h}

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