Uma mistura líquida com a composição apresentada na tabela abaixo está submetida, no reservatório, a uma temperatura de 200^{\circ} \mathrm{F} e tem pressão de bolha igual a 4000 psia. Calcular a massa específica da mistura nessas condições.
Componente Fração Molar
Massa
Molecular
metano 0,35 16
etano 0,08 30
propano 0,06 44
n-butano 0,04 58
n-pentano 0,07 72
hexano ^{+} 0,40 160
Dado: o hexano+ tem massa molecular igual a 160 e densidade igual a 0,85.

Passo 1

O enunciado pede que a massa específica (densidade) da mistura líquida no reservatório seja calculada às condições dadas. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Componente} & \text{Fraç\~ao molar }x_i & \text{Massa molecular }M_i\;(\mathrm{g/mol})\\\ \hline \text{metano} & 0,35 & 16\\\ \hline \text{etano} & 0,08 & 30\\\ \hline \text{propano} & 0,06 & 44\\\ \hline \text{n-butano} & 0,04 & 58\\\ \hline \text{n-pentano} & 0,07 & 72\\\ \hline \text{hexano+} & 0,40 & 160\\\ \hline \end{array}
Outras informações: temperatura do reservatório \,200^\circ\mathrm{F}, pressão de bolha \,4000\\ \mathrm{psia}. Dado adicional: para o fração \text{hexano+} foi dada a massa específica \,0,85 (unidade implícita: \mathrm{g/cm}^3, que é o habitualmente usado neste contexto).
A pergunta explícita: calcular a massa específica da mistura líquida nessas condições.

Passo 2

Método que vamos usar (explicado passo a passo e didaticamente):
  1. Para misturas líquidas, uma forma prática de obter a densidade da mistura é usar as frações de massa w_i e as densidades das parcelas puras \rho_i pela regra das frações de volume (regra das frações de massa para volume):\n
\frac{1}{\rho_{\text{mix}}}=\sum_i \frac{w_i}{\rho_i}.
Aqui \rho_{\text{mix}} é a massa específica da mistura (unidade \mathrm{g/cm}^3 ou \mathrm{kg/m}^3), w_i é a fração em massa do i-ésimo componente (adimensional), e \rho_i é a densidade do i-ésimo componente puro (mesmas unidades de \rho_{\text{mix}}).
  1. Para obter w_i a partir das frações molares x_i usamos a relação
w_i=\frac{x_i M_i}{\sum_j x_j M_j},
onde M_i é a massa molecular do componente i (em \mathrm{g/mol}). O denominador \sum_j x_j M_j é a massa molar média da mistura M_{\text{mix}}.
  1. Portanto, para aplicar a fórmula geral precisamos das densidades puras \rho_i de cada componente. Se tivéssemos todas, faríamos \frac{1}{\rho_{\text{mix}}}=\sum_i w_i/\rho_i e inverteríamos para obter \rho_{\text{mix}}.
Observação importante (assinaturas de aproximação/assunção): o enunciado só fornece a densidade da fração \text{hexano+}. As densidades líquidas puras dos componentes leves ( \text{metano, etano, propano,} etc.) não foram fornecidas. Sem esses valores precisos não é possível calcular exatamente \rho_{\text{mix}} pela fórmula exata acima. Para proceder precisamos adotar uma aproximação justificável. Uma aproximação comum e razoável quando se dá apenas a densidade do corte pesado (hexano+) e quando este corte é volumosa fração do líquido, é assumir que a densidade líquida dos componentes presentes é aproximadamente a mesma da fração pesada (i.e., \rho_i\approx 0,85\\ \mathrm{g/cm}^3 para todos). Essa aproximação supõe que, na fase líquida saturada sob alta pressão, as densidades dos hidrocarbonetos condensados são similares (mesmo que os componentes leves tenderiam a densidades diferentes, sua contribuição volumétrica pode ser pequena). Vou adotar essa aproximação e explico como proceder se quisesse maior precisão.

Passo 3

Calcular a massa molar média da mistura M_{\text{mix}} usando \displaystyle M_{\text{mix}}=\sum_i x_i M_i.
Compute passo a passo (cada termo x_i M_i):
\begin{aligned} x_{\text{metano}}M_{\text{metano}} &= 0,35\cdot 16 = 5,6\\\ x_{\text{etano}}M_{\text{etano}} &= 0,08\cdot 30 = 2,4\\\ x_{\text{propano}}M_{\text{propano}} &= 0,06\cdot 44 = 2,64\\\ x_{\text{n-butano}}M_{\text{n-butano}} &= 0,04\cdot 58 = 2,32\\\ x_{\text{n-pentano}}M_{\text{n-pentano}} &= 0,07\cdot 72 = 5,04\\\ x_{\text{hexano+}}M_{\text{hexano+}} &= 0,40\cdot 160 = 64,0 \end{aligned}
Somando todos:
M_{\text{mix}}=5,6+2,4+2,64+2,32+5,04+64,0 = 82,0\\ \mathrm{g/mol}.
Portanto a massa molar média da mistura é \,M_{\text{mix}}=82,0\\ \mathrm{g/mol}.

Passo 4

Calcular as frações em massa w_i a partir de w_i=\dfrac{x_i M_i}{M_{\text{mix}}}. Vou mostrar algumas e depois o argumento geral:
w_{\text{metano}}=\frac{0,35\cdot 16}{82,0}=\frac{5,6}{82,0}\approx 0,06829
w_{\text{etano}}=\frac{2,4}{82,0}\approx 0,02927
w_{\text{propano}}=\frac{2,64}{82,0}\approx 0,03220
w_{\text{n-butano}}=\frac{2,32}{82,0}\approx 0,02829
w_{\text{n-pentano}}=\frac{5,04}{82,0}\approx 0,06146
w_{\text{hexano+}}=\frac{64,0}{82,0}\approx 0,78049
Cheque rápido: somando as frações em massa obtemos aproximadamente 0,06829+0,02927+0,03220+0,02829+0,06146+0,78049\approx 1,000, OK.
Interpretação: a maior parte da massa está no corte pesado (hexano+), apesar de em mols ele ser 40% — porque é muito mais pesado.

Passo 5

Aplicando a aproximação (assumimos \rho_i\approx 0,85\\ \mathrm{g/cm}^3 para todos os componentes, pois só foi fornecida a densidade do corte pesado):
A fórmula da mistura reduz-se a
\frac{1}{\rho_{\text{mix}}}=\sum_i \frac{w_i}{\rho_i}\approx\sum_i \frac{w_i}{0,85}.
Como \sum_i w_i=1, isto dá
\frac{1}{\rho_{\text{mix}}}\approx\frac{1}{0,85}\quad\Rightarrow\quad \rho_{\text{mix}}\approx 0,85\\ \mathrm{g/cm}^3.
Conversão para o sistema SI (mais usado em Engenharia): 1\\ \mathrm{g/cm}^3 = 1000\\ \mathrm{kg/m}^3. Então
\rho_{\text{mix}}\approx 0,85\cdot 1000 = 850\\ \mathrm{kg/m}^3.
Comentário sobre precisão: esta resposta assume densidades dos componentes leves iguais à do corte pesado. Se você tiver (ou obtiver) as densidades líquidas puras \rho_i de cada componente às condições dadas, o procedimento correto é calcular cada w_i (feito no passo anterior) e usar
\frac{1}{\rho_{\text{mix}}}=\sum_i \frac{w_i}{\rho_i},
inverter para obter \rho_{\text{mix}}. Essa resposta acima é uma aproximação justificada pelo fato de que o corte pesado representa \approx 78\% da massa da mistura.

Resposta

\rho_{\text{mix}}\approx 0,85\\ \mathrm{g/cm}^3\n
\rho_{\text{mix}}\approx 850\\ \mathrm{kg/m}^3

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