Uma mistura líquida contendo 30,0 \% molar de benzeno (B), 25,0 \% de tolueno (T) e o resto de xileno ( X ) alimenta uma coluna de destilação. O produto de fundo contém 98,0 \% molar de X e nenhum B , e 96,0 \% do X na alimentação são recuperados nesta corrente. O produto de topo alimenta uma segunda coluna. O produto de topo da segunda coluna contém 97,0% do B contido na alimentação desta coluna. A composição desta corrente é 94,0 \% molar de B e o resto de T .
(a) Desenhe e rotule um diagrama de fluxo para este processo e faça uma análise dos graus de liberdade para provar que, para uma base admitida de cálculo, as vazões molares e composições de todas as correntes de processo podem ser calculadas com a informação dada. Escreva em ordem as equações que você resolveria para calcular as variáveis desconhecidas do processo. Em cada equação (ou par de equações simultâneas), marque as variáveis para as quais você as resolveria. Não faça nenhum cálculo.
(b) Calcule (i) a porcentagem do benzeno na alimentação do processo (quer dizer, a alimentação da primeira coluna) que sai no produto de topo da segunda coluna e (ii) a percentagem do tolueno na alimentação do processo que sai no produto de fundo da segunda coluna.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados (peguei estes números do enunciado):
  • Composição da alimentação da primeira coluna (fluxo total F):
    • benzeno: \,z_B=0,300,
    • tolueno: \,z_T=0,250,
    • xileno: \,z_X=0,450 (restante).
  • Produto de fundo da primeira coluna (corrente de fundo W_1):
    • contém \,0,98 (ou 98{,}0\%) molar de xileno,
    • não contém benzeno (ou seja, x_{B,W_1}=0).
  • Recuperação de xileno na corrente de fundo da primeira coluna: \,0,96 (ou 96{,}0\%) do xileno da alimentação vai para W_1.
  • Produto de topo da primeira coluna (corrente de topo D_1) alimenta a segunda coluna.
  • Segunda coluna:
    • o produto de topo da segunda coluna ( D_2) contém \,0,94 (ou 94{,}0\%) molar de benzeno e o resto é tolueno (logo não há xileno neste topo),
    • D_2 contém \,0,97 (ou 97{,}0\%) do benzeno contido na alimentação da segunda coluna (ou seja, 97{,}0\% de todo o benzeno que entra nessa coluna sai no D_2).
O enunciado pede:
(a) desenhar/rotular um diagrama de fluxo e fazer análise de graus de liberdade para mostrar que, escolhida uma base de cálculo, todas as vazões molares e composições podem ser calculadas; escrever em ordem as equações que resolveríamos para obter as incógnitas (sem calcular numericamente).
(b) calcular numericamente:
(i) a porcentagem do benzeno na alimentação do processo (alimentação da primeira coluna) que sai no produto de topo da segunda coluna;
(ii) a porcentagem do tolueno na alimentação do processo que sai no produto de fundo da segunda coluna.

Passo 2

Conceitos e escolhas metodológicas (aula rápida e simples):
  • Lei de conservação da massa: para cada coluna (ou separador) vale o balanço global de massa (fluxos totais) e os balanços por componente (uma equação por cada componente químico independente: aqui B, T e X, mas uma equação é dependente das outras por causa da soma).
  • Recuperação / rendimento: dizer que “ 96\% do X vai para W_1” significa que a quantidade molar de xileno em W_1 é 0,96 vezes a quantidade molar de xileno que entra na coluna.
  • Base de cálculo: é prática comum fixar uma base (por exemplo, F=1 mol por unidade de tempo ou F=100 mol) para trabalhar com frações-molares e porcentagens sem perda de generalidade. Escolho aqui a base F=1 mol para simplificar as contas e facilitar a interpretação percentual. Isso não limita a solução (todas as razões serão iguais para qualquer base).
  • Variáveis de processo típicas: vazões molares de cada corrente ( D_1,W_1,D_2,W_2) e composições molares de correntes desconhecidas (por exemplo composições de D_1, de W_2, etc.). Em destilação muitos dados são dados (recuperações, composições), o que reduz graus de liberdade.

Passo 3

Diagrama de fluxo (descrição rotulada — isto é o “desenho” em palavras):
  • Alimentação F entra na Primeira Coluna (Coluna 1).
  • Saídas da Coluna 1:
    • Topo: D_1 (vai como alimentação para a Segunda Coluna).
    • Fundo: W_1 (produto de fundo; contém essencialmente xileno).
  • Segunda Coluna (Coluna 2) recebe D_1 como alimentação.
  • Saídas da Coluna 2:
    • Topo: D_2 (produto final rico em benzeno).
    • Fundo: W_2 (produto final rico em tolueno).
      Rotular fluxos: F \to Coluna 1 \to D_1 \to Coluna 2 \to D_2 e W_2; W_1 sai do fundo da Coluna 1.

Passo 4

Análise de graus de liberdade (explicação passo a passo, sem números ainda):
  • Escolha de base: tomo F=1 mol (padrão; isso torna as frações molares numericamente iguais às frações do mol original).
  • Variáveis independentes que tipicamente apareceriam:
    • vazões molares: D_1, W_1, D_2, W_2 (mas há relações D_1+W_1=F e D_2+W_2=D_1);
    • composições molares: por exemplo y_{B,D_1},\,y_{T,D_1},\,y_{X,D_1} (soma = 1, então só duas são independentes); y_{B,D_2},\,y_{T,D_2} (aqui os dois são dados: y_{B,D_2}=0,94, y_{T,D_2}=0,06); composição de W_1 é informada parcialmente ( x_{X,W_1}=0,98, x_{B,W_1}=0, então x_{T,W_1}=0,02).
  • Equações disponíveis a partir dos dados e dos balanços:
    1. balanço total sobre a Coluna 1: D_1 + W_1 = F;
    2. balanço de xileno sobre Coluna 1 + dado de recuperação: quantidade de X em W_1 = 0,96 vezes a quantidade de X em F;
    3. condição de composição do fundo W_1: x_{X,W_1}=0,98 e x_{B,W_1}=0 (isto fornece relações entre W_1 e as quantidades molares de componentes em W_1);
    4. balanço de benzeno sobre Coluna 1: benzeno não sai em W_1, logo toda a quantidade de benzeno da alimentação está em D_1;
    5. balanço de tolueno sobre Coluna 1: o que resta depois do fundo fica em D_1.
    6. balanço total sobre Coluna 2: D_2 + W_2 = D_1.
    7. balanço de benzeno sobre Coluna 2: D_2 contém 0,97 da quantidade de benzeno que está em D_1 (dado).
    8. dado de composição do topo da Coluna 2: y_{B,D_2}=0,94 e y_{T,D_2}=0,06 (logo não há xileno no topo).
  • Com essas equações e escolhas (base F conhecida), o número de incógnitas cai rapidamente e fica igual ao número de equações independentes, ou seja o sistema é determinístico e sequencialmente solucionável. Em termos práticos: a equação de recuperação de X sobre a Coluna 1 resolve W_1 imediatamente; então D_1 vem de D_1=F-W_1; em seguida os balanços por componente na Coluna 1 determinam as composições de D_1; depois o balanço de benzeno na Coluna 2 e a composição de D_2 determinam D_2; finalmente W_2=D_1-D_2 e as composições de W_2 seguem dos balanços por componente. Portanto o grau de liberdade é zero após escolher a base.

Passo 5

Escrever em ordem as equações que resolveríamos (sem calcular), marcando as variáveis resolvidas em cada etapa.
Para facilitar mostro as equações em ordem e, entre parênteses, explico quais incógnitas são obtidas a partir dela.
Escolhi a base F=1 mol. Notação: z_i = fração molar do componente i na alimentação F; y_{i,S} = fração molar de i na corrente S.
  1. Recuperação de xileno na Coluna 1 (equação direta para W_1):
W_1 \cdot x_{X,W_1} = 0,96 \cdot F \cdot z_X.
(Resolve W_1 porque x_{X,W_1}=0,98 e F,z_X são conhecidos. Variável encontrada: W_1.)
  1. Balanço total na Coluna 1:
D_1 + W_1 = F.
(Resolve D_1 com W_1 já conhecido. Variável encontrada: D_1.)
  1. Balanço de benzeno na Coluna 1 (condição importante: não há benzeno em W_1):
D_1 \cdot y_{B,D_1} = F \cdot z_B.
(Resolve y_{B,D_1} porque D_1 e F,z_B são conhecidos. Variável encontrada: y_{B,D_1}.)
  1. Balanço de xileno na Coluna 1 (usado para achar y_{X,D_1}):
D_1 \cdot y_{X,D_1} = F \cdot z_X - W_1 \cdot x_{X,W_1}.
(Resolve y_{X,D_1}. Variável encontrada: y_{X,D_1}.)
  1. Composição de tolueno em D_1 (soma das frações = 1):
y_{T,D_1} = 1 - y_{B,D_1} - y_{X,D_1}.
(Resolve y_{T,D_1}.)
Até aqui obtivemos W_1, D_1 e todas as composições de D_1. Agora passamos à segunda coluna.
  1. Balanço total na Coluna 2:
D_2 + W_2 = D_1.
(Usado depois para achar W_2.)
  1. Balanço de benzeno na Coluna 2 com recuperação dada:
D_2 \cdot y_{B,D_2} = 0,97 \cdot (D_1 \cdot y_{B,D_1}).
(Aqui y_{B,D_2}=0,94 é dado; com isso resolve-se D_2. Variável encontrada: D_2.)
  1. Obter W_2 por W_2 = D_1 - D_2. (Resolve W_2.)
  2. Balanço de tolueno para checar/obter x_{T,W_2} se desejado:
W_2 \cdot x_{T,W_2} = D_1 \cdot y_{T,D_1} - D_2 \cdot y_{T,D_2},
onde y_{T,D_2}=0,06 conhecido. (Resolve x_{T,W_2} se for necessário.)
Observação: cada par de equações são resolvidas sequencialmente; nenhuma equação não-linear complicada aparece — são todas equações lineares simples porque estamos usando balanços de massa e dados de recuperação/composição. Portanto, para a base escolhida, todas as vazões e composições podem ser encontradas de forma única.

Passo 6

Agora vamos calcular numericamente (parte b). Relembre a base: tomo F=1 mol (então as porcentagens serão fáceis de interpretar como frações do mol de alimentação).
Valores iniciais:
z_B=0,300,\qquad z_T=0,250,\qquad z_X=0,450,\qquad F=1.
Passo a passo numérico conforme as equações da Parte (a).

Passo 7

Calcular W_1 a partir da recuperação de xileno:
W_1 \cdot x_{X,W_1} = 0,96\cdot F\cdot z_X.
Substituindo x_{X,W_1}=0,98, F=1, z_X=0,450:
W_1 = \frac{0,96\cdot 1\cdot 0,450}{0,98} = \frac{0,432}{0,98} = 0,4408163265\ldots

Passo 8

Calcular D_1 por balanço total na Coluna 1:
D_1 = F - W_1 = 1 - 0,4408163265\ldots = 0,5591836735\ldots

Passo 9

Balanço de benzeno na Coluna 1 (todo o benzeno fica em D_1 porque W_1 não contém benzeno):
D_1\cdot y_{B,D_1} = F\cdot z_B = 1\cdot 0,300 = 0,300.
Logo
y_{B,D_1} = \frac{0,300}{D_1} = \frac{0,300}{0,5591836735\ldots} = 0,536645\ldots

Passo 10

Balanço de xileno na Coluna 1 para achar y_{X,D_1}:
D_1\cdot y_{X,D_1} = F\cdot z_X - W_1\cdot x_{X,W_1}.
O lado direito é 1\cdot 0,450 - 0,4408163265\ldots\cdot 0,98 = 0,450 - 0,432 = 0,018.
Logo
y_{X,D_1} = \frac{0,018}{D_1} = \frac{0,018}{0,5591836735\ldots} = 0,032192\ldots

Passo 11

Composição de tolueno em D_1:
y_{T,D_1} = 1 - y_{B,D_1} - y_{X,D_1} = 1 - 0,536645\ldots - 0,032192\ldots = 0,431163\ldots
Verificação rápida (moles de tolueno em D_1):
D_1\cdot y_{T,D_1} \approx 0,5591836735\ldots \times 0,431163\ldots = 0,2411836735\ldots
(que é z_T\cdot F - x_{T,W_1}\cdot W_1 = 0,250 - 0,02\cdot W_1, conferindo coerência.)

Passo 12

Agora Coluna 2: balanço de benzeno com recuperação de 97{,}0\%:
Quantidade de benzeno em D_1 é D_1\cdot y_{B,D_1} = 0,300 (já vimos). Então a quantidade de benzeno em D_2 é 0,97 dessa:
D_2\cdot y_{B,D_2} = 0,97\cdot 0,300 = 0,291.
Como y_{B,D_2}=0,94 (dado), obtemos
D_2 = \frac{0,291}{0,94} = 0,3095744681\ldots

Passo 13

A partir de D_2 obtemos W_2:
W_2 = D_1 - D_2 = 0,5591836735\ldots - 0,3095744681\ldots = 0,2496092054\ldots

Passo 14

Calcular a distribuição final dos componentes relevante para as perguntas:
(i) Porcentagem do benzeno na alimentação do processo que sai em D_2.
  • Quantidade de benzeno na alimentação F é F\cdot z_B = 1\cdot 0,300 = 0,300.
  • Quantidade de benzeno em D_2 é D_2\cdot y_{B,D_2} = 0,291 (já calculado).
  • Fração relativa:
\text{frac}_{B\to D_2} = \frac{0,291}{0,300} = 0,97 = 97{,}0\%.
Observação didática: isto era esperado porque todo o benzeno saiu do fundo da primeira coluna (zero em W_1), de modo que o único “escape” do benzeno em direção ao produto final foi o que aconteceu na segunda coluna — e o enunciado dá diretamente que 97{,}0\% do benzeno que entrou na segunda coluna sai no D_2. Assim o resultado é 97{,}0\%.
(ii) Porcentagem do tolueno na alimentação do processo que sai no produto de fundo da segunda coluna W_2.
  • Quantidade inicial de tolueno na alimentação F é F\cdot z_T = 1\cdot 0,250 = 0,250.
  • Já calculamos a quantidade de tolueno que ficou em W_2 por balanço (Passo 11 e Passo 12):
    • tolueno em D_1 era 0,2411836735\ldots,
    • tolueno em D_2 é D_2\cdot y_{T,D_2} = D_2\cdot 0,06 = 0,3095744681\ldots \times 0,06 = 0,0185744681\ldots.
    • Então tolueno em W_2 é
\text{T}_{{W_2}} = 0,2411836735\ldots - 0,0185744681\ldots = 0,2226092054\ldots
  • Fração relativa do tolueno inicial que vai para W_2:
\text{frac}_{T\to W_2} = \frac{0,2226092054\ldots}{0,250} = 0,8904368216\ldots \approx 0,89044.
Convertendo para porcentagem: 0,8904368216\ldots \times 100\% \approx 89{,}04\%.

Resposta

97{,}0\%
89{,}04\%

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