Uma mistura líquida contendo
molar de benzeno (B),
de tolueno (T) e o resto de xileno ( X ) alimenta uma coluna de destilação. O produto de fundo contém
molar de X e nenhum B , e
do X na alimentação são recuperados nesta corrente. O produto de topo alimenta uma segunda coluna. O produto de topo da segunda coluna contém 97,0% do B contido na alimentação desta coluna. A composição desta corrente é
molar de B e o resto de T .
(a) Desenhe e rotule um diagrama de fluxo para este processo e faça uma análise dos graus de liberdade para provar que, para uma base admitida de cálculo, as vazões molares e composições de todas as correntes de processo podem ser calculadas com a informação dada. Escreva em ordem as equações que você resolveria para calcular as variáveis desconhecidas do processo. Em cada equação (ou par de equações simultâneas), marque as variáveis para as quais você as resolveria. Não faça nenhum cálculo.
(b) Calcule (i) a porcentagem do benzeno na alimentação do processo (quer dizer, a alimentação da primeira coluna) que sai no produto de topo da segunda coluna e (ii) a percentagem do tolueno na alimentação do processo que sai no produto de fundo da segunda coluna.
(a) Desenhe e rotule um diagrama de fluxo para este processo e faça uma análise dos graus de liberdade para provar que, para uma base admitida de cálculo, as vazões molares e composições de todas as correntes de processo podem ser calculadas com a informação dada. Escreva em ordem as equações que você resolveria para calcular as variáveis desconhecidas do processo. Em cada equação (ou par de equações simultâneas), marque as variáveis para as quais você as resolveria. Não faça nenhum cálculo.
(b) Calcule (i) a porcentagem do benzeno na alimentação do processo (quer dizer, a alimentação da primeira coluna) que sai no produto de topo da segunda coluna e (ii) a percentagem do tolueno na alimentação do processo que sai no produto de fundo da segunda coluna.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados (peguei estes números do enunciado):
- Composição da alimentação da primeira coluna (fluxo total
): - benzeno:
, - tolueno:
, - xileno:
(restante).
- benzeno:
- Produto de fundo da primeira coluna (corrente de fundo
): - contém
(ou ) molar de xileno, - não contém benzeno (ou seja,
).
- contém
- Recuperação de xileno na corrente de fundo da primeira coluna:
(ou ) do xileno da alimentação vai para . - Produto de topo da primeira coluna (corrente de topo
) alimenta a segunda coluna. - Segunda coluna:
- o produto de topo da segunda coluna (
) contém (ou ) molar de benzeno e o resto é tolueno (logo não há xileno neste topo), -
contém (ou ) do benzeno contido na alimentação da segunda coluna (ou seja, de todo o benzeno que entra nessa coluna sai no ).
- o produto de topo da segunda coluna (
O enunciado pede:
(a) desenhar/rotular um diagrama de fluxo e fazer análise de graus de liberdade para mostrar que, escolhida uma base de cálculo, todas as vazões molares e composições podem ser calculadas; escrever em ordem as equações que resolveríamos para obter as incógnitas (sem calcular numericamente).
(b) calcular numericamente:
(i) a porcentagem do benzeno na alimentação do processo (alimentação da primeira coluna) que sai no produto de topo da segunda coluna;
(ii) a porcentagem do tolueno na alimentação do processo que sai no produto de fundo da segunda coluna.
(a) desenhar/rotular um diagrama de fluxo e fazer análise de graus de liberdade para mostrar que, escolhida uma base de cálculo, todas as vazões molares e composições podem ser calculadas; escrever em ordem as equações que resolveríamos para obter as incógnitas (sem calcular numericamente).
(b) calcular numericamente:
(i) a porcentagem do benzeno na alimentação do processo (alimentação da primeira coluna) que sai no produto de topo da segunda coluna;
(ii) a porcentagem do tolueno na alimentação do processo que sai no produto de fundo da segunda coluna.
Passo 2
Conceitos e escolhas metodológicas (aula rápida e simples):
- Lei de conservação da massa: para cada coluna (ou separador) vale o balanço global de massa (fluxos totais) e os balanços por componente (uma equação por cada componente químico independente: aqui B, T e X, mas uma equação é dependente das outras por causa da soma).
- Recuperação / rendimento: dizer que “
do X vai para ” significa que a quantidade molar de xileno em é vezes a quantidade molar de xileno que entra na coluna. - Base de cálculo: é prática comum fixar uma base (por exemplo,
mol por unidade de tempo ou mol) para trabalhar com frações-molares e porcentagens sem perda de generalidade. Escolho aqui a base mol para simplificar as contas e facilitar a interpretação percentual. Isso não limita a solução (todas as razões serão iguais para qualquer base). - Variáveis de processo típicas: vazões molares de cada corrente (
) e composições molares de correntes desconhecidas (por exemplo composições de , de , etc.). Em destilação muitos dados são dados (recuperações, composições), o que reduz graus de liberdade.
Passo 3
Diagrama de fluxo (descrição rotulada — isto é o “desenho” em palavras):
- Alimentação
entra na Primeira Coluna (Coluna 1). - Saídas da Coluna 1:
- Topo:
(vai como alimentação para a Segunda Coluna). - Fundo:
(produto de fundo; contém essencialmente xileno).
- Topo:
- Segunda Coluna (Coluna 2) recebe
como alimentação. - Saídas da Coluna 2:
- Topo:
(produto final rico em benzeno). - Fundo:
(produto final rico em tolueno).
Rotular fluxos:Coluna 1 Coluna 2 e ; sai do fundo da Coluna 1.
- Topo:
Passo 4
Análise de graus de liberdade (explicação passo a passo, sem números ainda):
- Escolha de base: tomo
mol (padrão; isso torna as frações molares numericamente iguais às frações do mol original). - Variáveis independentes que tipicamente apareceriam:
- vazões molares:
(mas há relações e ); - composições molares: por exemplo
(soma = 1, então só duas são independentes); (aqui os dois são dados: , ); composição de é informada parcialmente ( , , então ).
- vazões molares:
- Equações disponíveis a partir dos dados e dos balanços:
- balanço total sobre a Coluna 1:
; - balanço de xileno sobre Coluna 1 + dado de recuperação: quantidade de X em
= vezes a quantidade de X em ; - condição de composição do fundo
: e (isto fornece relações entre e as quantidades molares de componentes em ); - balanço de benzeno sobre Coluna 1: benzeno não sai em
, logo toda a quantidade de benzeno da alimentação está em ; - balanço de tolueno sobre Coluna 1: o que resta depois do fundo fica em
. - balanço total sobre Coluna 2:
. - balanço de benzeno sobre Coluna 2:
contém da quantidade de benzeno que está em (dado). - dado de composição do topo da Coluna 2:
e (logo não há xileno no topo).
- balanço total sobre a Coluna 1:
- Com essas equações e escolhas (base
conhecida), o número de incógnitas cai rapidamente e fica igual ao número de equações independentes, ou seja o sistema é determinístico e sequencialmente solucionável. Em termos práticos: a equação de recuperação de X sobre a Coluna 1 resolve imediatamente; então vem de ; em seguida os balanços por componente na Coluna 1 determinam as composições de ; depois o balanço de benzeno na Coluna 2 e a composição de determinam ; finalmente e as composições de seguem dos balanços por componente. Portanto o grau de liberdade é zero após escolher a base.
Passo 5
Escrever em ordem as equações que resolveríamos (sem calcular), marcando as variáveis resolvidas em cada etapa.
Para facilitar mostro as equações em ordem e, entre parênteses, explico quais incógnitas são obtidas a partir dela.
Para facilitar mostro as equações em ordem e, entre parênteses, explico quais incógnitas são obtidas a partir dela.
Escolhi a base
mol. Notação:
= fração molar do componente
na alimentação
;
= fração molar de
na corrente
.
- Recuperação de xileno na Coluna 1 (equação direta para
):
(Resolve
porque
e
são conhecidos. Variável encontrada:
.)
- Balanço total na Coluna 1:
(Resolve
com
já conhecido. Variável encontrada:
.)
- Balanço de benzeno na Coluna 1 (condição importante: não há benzeno em
):
(Resolve
porque
e
são conhecidos. Variável encontrada:
.)
- Balanço de xileno na Coluna 1 (usado para achar
):
(Resolve
. Variável encontrada:
.)
- Composição de tolueno em
(soma das frações = 1):
(Resolve
.)
Até aqui obtivemos
e todas as composições de
. Agora passamos à segunda coluna.
- Balanço total na Coluna 2:
(Usado depois para achar
.)
- Balanço de benzeno na Coluna 2 com recuperação dada:
(Aqui
é dado; com isso resolve-se
. Variável encontrada:
.)
-
Obter
por . (Resolve .) -
Balanço de tolueno para checar/obter
se desejado:
onde
conhecido. (Resolve
se for necessário.)
Observação: cada par de equações são resolvidas sequencialmente; nenhuma equação não-linear complicada aparece — são todas equações lineares simples porque estamos usando balanços de massa e dados de recuperação/composição. Portanto, para a base escolhida, todas as vazões e composições podem ser encontradas de forma única.
Passo 6
Agora vamos calcular numericamente (parte b). Relembre a base: tomo
mol (então as porcentagens serão fáceis de interpretar como frações do mol de alimentação).
Valores iniciais:
Passo a passo numérico conforme as equações da Parte (a).
Passo 7
Calcular
a partir da recuperação de xileno:
Substituindo
,
,
:
Passo 8
Calcular
por balanço total na Coluna 1:
Passo 9
Balanço de benzeno na Coluna 1 (todo o benzeno fica em
porque
não contém benzeno):
Logo
Passo 10
Balanço de xileno na Coluna 1 para achar
:
O lado direito é
.
Logo
Logo
Passo 11
Composição de tolueno em
:
Verificação rápida (moles de tolueno em
):
(que é
, conferindo coerência.)
Passo 12
Agora Coluna 2: balanço de benzeno com recuperação de
:
Quantidade de benzeno em é
(já vimos). Então a quantidade de benzeno em
é
dessa:
Quantidade de benzeno em
Como
(dado), obtemos
Passo 13
A partir de
obtemos
:
Passo 14
Calcular a distribuição final dos componentes relevante para as perguntas:
(i) Porcentagem do benzeno na alimentação do processo que sai em
.
- Quantidade de benzeno na alimentação
é . - Quantidade de benzeno em
é (já calculado). - Fração relativa:
Observação didática: isto era esperado porque todo o benzeno saiu do fundo da primeira coluna (zero em
), de modo que o único “escape” do benzeno em direção ao produto final foi o que aconteceu na segunda coluna — e o enunciado dá diretamente que
do benzeno que entrou na segunda coluna sai no
. Assim o resultado é
.
(ii) Porcentagem do tolueno na alimentação do processo que sai no produto de fundo da segunda coluna
.
- Quantidade inicial de tolueno na alimentação
é . - Já calculamos a quantidade de tolueno que ficou em
por balanço (Passo 11 e Passo 12): - tolueno em
era , - tolueno em
é . - Então tolueno em
é
- tolueno em
- Fração relativa do tolueno inicial que vai para
:
Convertendo para porcentagem:
.