Resolva o problema de valor de contorno: (2,0)
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime \prime}+9 y=27 \cos (6 t) \\\ y(0)=-1, \quad y\left(\frac{\pi}{6}\right)=3 \end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Equação diferencial fornecida:
y'' + 9y = 27\cos(6t).
  • Condições de contorno (valores de fronteira) dadas:
y(0) = -1,\qquad y\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=3.
  • O que o problema pede: encontrar a função y(t) definida em um intervalo que satisfaça a equação diferencial e os dois valores de contorno acima.

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada (ou seja, sem o termo à direita) para obter a solução geral da parte homogênea.
A equação homogênea é
y''+9y=0.
Para resolver equações lineares com coeficientes constantes, usamos a equação característica. Assumimos uma solução da forma y=e^{rt}. Substituindo:
r^2 e^{rt} + 9 e^{rt} = 0 \quad\Rightarrow\quad (r^2+9)e^{rt}=0.
Como e^{rt}\neq0, obtemos a equação característica
r^2+9=0.
As raízes são
r = \pm 3i.
Para raízes puramente imaginárias \pm \omega i, a solução geral da homogênea é combinação linear de \cos(\omega t) e \sin(\omega t). Aqui \omega=3. Portanto a solução homogênea é
y_h(t)=C_1\cos(3t)+C_2\sin(3t),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p(t) da equação não homogênea
y''+9y=27\cos(6t).
Método escolhido: método dos coeficientes indeterminados, porque o termo forçante é uma combinação de funções trigonométricas simples. A ideia é propor uma forma para y_p que, após diferenciar e substituir, permita determinar constantes.
Observação importante sobre ressonância: se a frequência do forçante fosse igual à frequência natural da homogênea ( 3 neste caso), teríamos ressonância e precisaríamos multiplicar a tentativa por t. Aqui a frequência do forçante é 6, diferente de 3; portanto não há ressonância e uma tentativa do tipo a\cos(6t)+b\sin(6t) é adequada.
Proponho:
y_p(t)=a\cos(6t)+b\sin(6t),
com a,b constantes a determinar.

Passo 4

Calcular y_p'' e substituir na equação para achar a e b.
Derivando:
y_p'(t) = -6a\sin(6t)+6b\cos(6t),
y_p''(t) = -36a\cos(6t)-36b\sin(6t).
Agora substituímos em y''+9y:
y_p''+9y_p = (-36a\cos(6t)-36b\sin(6t)) + 9(a\cos(6t)+b\sin(6t)).
Agrupando termos de \cos(6t) e \sin(6t):
y_p''+9y_p = (-36a+9a)\cos(6t) + (-36b+9b)\sin(6t).
Isso simplifica para
y_p''+9y_p = -27a\cos(6t) -27b\sin(6t).
Queremos que isso seja igual a 27\cos(6t). Assim igualamos os coeficientes:
-27a = 27,\qquad -27b = 0.
Logo
a = -1,\qquad b = 0.
Portanto a solução particular é
y_p(t) = -\cos(6t).

Passo 5

Construir a solução geral da equação não homogênea somando homogênea e particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1\cos(3t)+C_2\sin(3t) - \cos(6t).
Agora aplicamos as condições de contorno para determinar C_1 e C_2.
Primeira condição: y(0)=-1.
Calcule y(0):
y(0) = C_1\cos(0)+C_2\sin(0)-\cos(0) = C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 - 1 = C_1 - 1.
Igualando a -1:
C_1 - 1 = -1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = 0.

Passo 6

Segunda condição: y\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=3.
Calcule os valores trigonométricos necessários:
3t\Big|_{t=\pi/6} = 3\cdot\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}, \qquad 6t\Big|_{t=\pi/6} = 6\cdot\frac{\pi}{6} = \pi.
Então
\cos\!\left(3\cdot\frac{\pi}{6}\right) = \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, \qquad \sin\!\left(3\cdot\frac{\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, \qquad \cos\!\left(6\cdot\frac{\pi}{6}\right)=\cos(\pi)=-1.
Com C_1=0, temos
y\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = C_1\cdot 0 + C_2\cdot 1 - \cos(\pi) = C_2 - (-1) = C_2 + 1.
Igualando a 3:
C_2 + 1 = 3 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 2.

Passo 7

Com C_1=0 e C_2=2, a solução final é
y(t) = 2\sin(3t) - \cos(6t).
Verificação rápida (opcional e didática): verificar as condições de contorno.
y(0) = 2\sin(0)-\cos(0)=0-1=-1,
y\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-\cos(\pi)=2\cdot1 -(-1)=3.
Ambas conferem com as condições impostas. Também a substituição em y''+9y retorna 27\cos(6t) conforme construída pelo método dos coeficientes indeterminados.

Resposta

y(t)=2\sin(3t)-\cos(6t)

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