Como e^{rt}\neq0, obtemos a equação característica
r^2+9=0.
As raízes são
r = \pm 3i.
Para raízes puramente imaginárias \pm \omega i, a solução geral da homogênea é combinação linear de \cos(\omega t) e \sin(\omega t). Aqui \omega=3. Portanto a solução homogênea é
y_h(t)=C_1\cos(3t)+C_2\sin(3t),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular y_p(t) da equação não homogênea
y''+9y=27\cos(6t).
Método escolhido: método dos coeficientes indeterminados, porque o termo forçante é uma combinação de funções trigonométricas simples. A ideia é propor uma forma para y_p que, após diferenciar e substituir, permita determinar constantes.
Observação importante sobre ressonância: se a frequência do forçante fosse igual à frequência natural da homogênea (3 neste caso), teríamos ressonância e precisaríamos multiplicar a tentativa por t. Aqui a frequência do forçante é 6, diferente de 3; portanto não há ressonância e uma tentativa do tipo a\cos(6t)+b\sin(6t) é adequada.
Proponho:
y_p(t)=a\cos(6t)+b\sin(6t),
com a,b constantes a determinar.
Passo 4
Calcular y_p'' e substituir na equação para achar a e b.
Ambas conferem com as condições impostas. Também a substituição em y''+9y retorna 27\cos(6t) conforme construída pelo método dos coeficientes indeterminados.