Um processo de evaporação-cristalização do tipo descrito no Exemplo 4.5-2 é usado para se obter sulfato de potássio sólido de uma solução aquosa deste sal. A alimentação fresca do processo contém
em massa de
. A torta úmida de filtro consiste em cristais de
sólido e de uma solução
em massa de
, em uma proporção 10 kg cristais/kg solução. O filtrado, também uma solução
, é reciclado para se juntar à alimentação fresca. Da água que alimentou o evaporador,
são evaporados. O evaporador tem uma capacidade máxima de 175 kg de água evaporada/s.
(a) Considere que o processo opera com a sua capacidade máxima. Desenhe e rotule o diagrama de fluxo e faça a análise dos graus de liberdade para o sistema global, o ponto de mistura alimentação fresca-reciclo, o evaporador e o cristalizador. Escreva depois em uma ordem eficiente (minimizando as equações simultâneas) as equações que usaria para resolver as incógnitas. Em cada equação, indique a variável a ser determinada, mas não faça os cálculos ainda.
(b) Calcule a taxa de produção máxima de
sólido, a vazão na qual a alimentação fresca deve ser suprida para garantir esta taxa de produção e a razão kg reciclo/kg alimentação fresca.
(c) Calcule a composição e a vazão da corrente que entra no cristalizador se o processo é escalonado para
da sua capacidade máxima.
(d) A torta úmida de filtro é submetida a uma outra operação depois de deixar o filtro. Sugira qual poderia ser esta operação. Quais você pensa que seriam os principais custos operacionais deste processo?
(a) Considere que o processo opera com a sua capacidade máxima. Desenhe e rotule o diagrama de fluxo e faça a análise dos graus de liberdade para o sistema global, o ponto de mistura alimentação fresca-reciclo, o evaporador e o cristalizador. Escreva depois em uma ordem eficiente (minimizando as equações simultâneas) as equações que usaria para resolver as incógnitas. Em cada equação, indique a variável a ser determinada, mas não faça os cálculos ainda.
(b) Calcule a taxa de produção máxima de
(c) Calcule a composição e a vazão da corrente que entra no cristalizador se o processo é escalonado para
(d) A torta úmida de filtro é submetida a uma outra operação depois de deixar o filtro. Sugira qual poderia ser esta operação. Quais você pensa que seriam os principais custos operacionais deste processo?
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados nos são dados.
-
Pedido do problema, dividido por itens:
(a) desenhar e rotular o diagrama de fluxo; fazer análise dos graus de liberdade (global, ponto de mistura alimentação–reciclo, evaporador e cristalizador); escrever, numa ordem eficiente, as equações que usaria para resolver as incógnitas (indicar para cada equação qual variável ela determina). Não calcular ainda.
(b) calcular a taxa de produção máxima desólido, a vazão da alimentação fresca necessária para essa produção máxima e a razão .
(c) calcular a composição e a vazão da corrente que entra no cristalizador quando o processo opera ada capacidade máxima.
(d) sugerir uma operação posterior para a torta úmida e indicar os principais custos operacionais do processo. -
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
- Composição da alimentação fresca:
em massa de . Ou seja, . - A torta úmida do filtro consiste em cristais sólidos e de uma solução com
em massa de , em proporção (ou seja, para cada kg de cristais há kg de solução retida na torta). - O filtrado é também solução
e é reciclado integralmente para a mistura com a alimentação fresca. - Do total de água que entra no evaporador,
são evaporados (relação fixa do enunciado). - Capacidade máxima de evaporação:
de água evaporada. - Pressupostos físicos usuais (implícitos no enunciado): o vapor é essencialmente água pura (nenhum componente soluto é volatilizado); as composições dadas referem-se a fração mássica.
- Composição da alimentação fresca:
Observações de entendimento (não resolvo nada aqui, só deixo claro):
- A corrente de entrada do cristalizador é o concentrado saindo do evaporador.
- Da separação sólido–líquido (filtro) saem duas correntes: a torta (cristais + solução retida) e o filtrado (solução
), este último é o recirculado. - A produção de
sólido refere-se à massa de cristais (sólido) por unidade de tempo (não inclui a massa de dissolvida na solução que fica retida na torta).
Passo 2
Esboço e rotulação do diagrama de fluxo (descrito em palavras e variáveis que vou usar).
- Correntes e pontos principais (cada variável é taxa mássica em
): -
= vazão de alimentação fresca (kg/s), com fração mássica . -
= vazão do reciclo (filtrado) (kg/s), com . - Corrente de alimentação para o evaporador (mistura):
. - Evaporador: evapora água à taxa
(kg/s). Do enunciado, quando em capacidade máxima . - Saída do evaporador (líquido concentrado) vai para o cristalizador; chamo essa vazão de
(kg/s). - Cristalizador + filtro: forma cristais (sólido) à taxa
(kg/s) — essa é a produção sólida pedida em (b). A torta contém ainda solução retida em razão : logo massa da solução retida na torta = . - Filtrado (solução
) sai do filtro com vazão (recolocado ao mix).
-
- Relações óbvias de fluxo:
- Massa total no evaporador:
. - Massa no cristalizador+filtro:
.
- Massa total no evaporador:
Passo 3
Explicação das leis fundamentais e como vamos usá-las (mini-aula, bem didática).
- Balanço de massa total: para qualquer equipamento, a soma das massas que entram = soma das massas que saem (Lei de conservação da massa).
- Balanço de componente (aqui o componente importante é
): massa de que entra = massa que sai (porque não há reações químicas que consumam o sal). - Para transformar fração mássica
em massa do soluto em uma corrente de vazão : massa de soluto = .
- Para transformar fração mássica
- Interpretação da torta do filtro: a torta é composta por
- cristais (massa
, todo soluto em estado sólido), e - solução retida na torta (massa
), que contém de dissolvido. - Portanto, a massa total de
que sai do sistema com a torta é .
- cristais (massa
- Evaporador: pressupõe-se que só água é retirada no vapor, logo todo o
permanece na linha líquida. - Grau de liberdade (DOF): para um subsistema, DOF = número de incógnitas independentes − número de equações independentes. Se DOF = 0 é determinado; se DOF > 0 faltam especificações; se DOF < 0 o sistema está sobrespecificado.
Passo 4
Análise dos graus de liberdade (DOF) — sistema global e unidades.
Vou definir as incógnitas mínimas úteis para cada bloco e contar as equações independentes que aplicam.
- Sistema global (considerando que o evaporador está operando na capacidade máxima
; logo é um dado fixo):
- incógnitas independentes essenciais:
. (Escolho estas 3 porque está fixado e outras vazões são funções delas.) - equações independentes aplicáveis ao sistema global:
A. Balanço de componenteglobal: todo o sal vindo da alimentação fresca sai no produto torta → .
B. Balanço de massa total envolvendo evaporador/cristalizador:(obtido de , simplifica-se).
C. Relação de água evaporada:(a água na alimentação é ; na recirculação é ; dessa água é evaporada). - número de equações = 3; incógnitas = 3 → DOF = 0. Conclusão: sistema global está totalmente determinado quando
é fixado.
- Ponto de mistura (alimentação fresca
+ reciclo → mistura que vai ao evaporador):
- incógnitas:
e composição da mistura (ou apenas e se só interessar a massa total). - equações: soma das vazões:
(definição), e balanço do componente: . - incógnitas efetivas 3, equações 2 → DOF = 1 (é necessário um valor adicional: por exemplo, conhecer
ou ou ). No contexto do sistema global, e são determinados pelo restante do fluxo de massa e pela equação de evaporação, então o ponto de mistura não é livre globalmente; isolado, tem DOF 1.
- Evaporador (unidade isolada):
- incógnitas: vazão de alimentação
, vazão de vapor e vazão de líquido concentrado , e possivelmente a composição do líquido . - equações independentes: balanço de massa total (1), balanço do componente (0 porque o componente não sai no vapor — mas isso é uma equação útil: massa do soluto no líquido de saída = massa do soluto na alimentação), e a especificação dada
da água de alimentação (que liga a e ). Contando: incógnitas 4 (se incluir ), equações 3 → DOF = 1. Em outras palavras, com a especificação da fração de água evaporada pode-se obter em termos de ; se é fixado (caso da capacidade), a evaporador fica determinado.
- Cristalizador + filtro (unidade isolada):
- incógnitas principais: vazão de entrada
, vazão de cristais , vazão do filtrado (reciclo), e composição do filtrado (dado 0,40) e massa de solução retida na torta (dada pela razão ). - equações: balanço de massa total:
; balanço de : . Se não for conhecida, estas são 2 equações para 4 incógnitas → DOF = 2. Na prática, vem do evaporador (é o líquido concentrado), então unidades se acoplam e o sistema fica determinado.
Resumo DOF: quando se considera o sistema acoplado e fixa-se
, o sistema global tem DOF = 0 (determinístico). Unidades isoladas têm DOF positivos a menos que sejam acopladas ou alguma especificação adicional seja dada.
Passo 5
Equações independentes e ordem eficiente para resolver (minimizando equações simultâneas). Em cada equação indico a variável que essa equação resolve (ou expressa).
Vou listar as equações com explicação breve e indicar a variável a ser obtida por ela (a ordem é a que minimiza simultaneidade).
Ordem eficiente proposta:
-
Usar o balanço de componente global para relacionar
com . Essa equação dá em função de . — Variável determinada: expressaem função de : . -
Usar o balanço de massa total do conjunto evaporador+cristalizador (simplificado) para relacionar
e : — Variável determinada: dadase esta equação dá ; mas combinada com (1) permite resolver diretamente quando é conhecido. Em prática vou substituir a relação de (1) em (2) para obter em função de . -
Combinar (1) e (2) para obter
explicitamente em função de . (Isso reduz o problema a uma equação simples em se for dado.)
— Variável determinada:numérico (quando é fixo). -
Calcular
a partir de (2) depois de conhecido : — Variável determinada:. -
Finalmente usar a relação da evaporação (a especificação que liga
com a água que entrou) para determinar : — Variável determinada:. -
Verificação / cálculo de correntes derivadas:
- Vazão do líquido que entra no cristalizador:
— Variável determinada: . - Composição da corrente para o cristalizador:
— Variável determinada: (fração mássica de na alimentação do cristalizador). - Razão reciclo/alimentação fresca:
— Variável determinada: razão adimensional.
- Vazão do líquido que entra no cristalizador:
Observação: esta ordem (1) → (2) → (3) → (4) → (5) isola as incógnitas uma a uma, evitando a solução simultânea de múltiplas equações.
Passo 6
Agora resolvo numericamente o item (b) usando a ordem de equações proposta (agora faço os cálculos).
Dado operacional para (b): operando na capacidade máxima do evaporador,
.
- Combinar (1) e (2) para obter
em função de .
- Recordando (1):
. - Recordando (2):
.
Substituo
da (2) na expressão de (1):
Agora isolo
:
Calculo numérico dos coeficientes:
Logo:
Isolando
:
Substituindo
:
Cálculo numérico:
- Calcular
com :
- Calcular
a partir da relação de evaporação:
Isolando
:
Substituindo valores numéricos:
- Calcular a razão
:
Resumo numérico do item (b):
- produção máxima de
sólido: . - vazão de alimentação fresca necessária:
. - razão
: .
Passo 7
Item (c): operar a
da capacidade máxima. Recalculo as correntes de entrada do cristalizador.
- Primeiro ajuste da evaporação:
Como vimos antes,
é proporcional a
(pela expressão
). Logo:
Numericamente:
- Calcular
usando :
- Calcular
usando :
- Vazão que entra no cristalizador:
- Composição (fração mássica de
) da corrente de alimentação do cristalizador:
A massa denaquela corrente é a soma do soluto vindo de e de :
Numérico:
Então a fração mássica:
Ou seja,
em massa de
(a concentração aumentou em relação ao filtrado de
, como esperado, porque houve evaporação).
Resumo item (c):
- vazão que entra no cristalizador:
. - composição dessa corrente:
(ou em massa de ).
Passo 8
Item (d): sugestão de operação posterior à torta úmida e principais custos operacionais (resposta qualitativa, justificada).
-
Operação sugerida para a torta úmida:
- Secagem (dryer) — a torta úmida contém cristais + solução retida; para obter
seco em forma comercial necessita-se remover a solução remanescente. Portanto um equipamento típico é um secador (por exemplo: secador de leito fluidizado, secador rotativo ou leito de ar quente), possivelmente precedido por uma lavagem leve da torta se for desejável reduzir impurezas ou concentração de mãe liquor. - Alternativa comum: lavagem do leito/torta com água / solução de baixa concentração para reduzir impurezas e depois secagem. A lavagem deve ser dimensionada para não dissolver demasiadamente os cristais (usar temperatura e volume ótimos).
- Secagem (dryer) — a torta úmida contém cristais + solução retida; para obter
-
Principais custos operacionais esperáveis:
- Energia térmica para evaporação e secagem — provavelmente o maior custo. A evaporação no evaporador (remover até 175 kg/s de água) exige vapor/energia maciça; secagem da torta também consome energia. Se o vapor é gerado a partir de combustível/eletricidade, isso será um custo operacional dominante.
- Energia elétrica para bombas, agitadores, filtros e ventiladores (secador) — importante e contínuo.
- Água de reposição / utilidades (água para lavagem, água de resfriamento, água de caldeira) e tratamento de efluentes — custo e ainda custo de conformidade ambiental.
- Manutenção e reposição de peças (filtros, dispositivos de secagem, trocadores de calor) — impacto relevante em custo fixo/operacional.
- Custos de mão-de-obra e supervisão operacional.
- Tratamento de resíduos e descarte (se houver concentrações residuais que não sejam recicladas).
- Investimento amortizado (CAPEX) influencia o custo unitário do produto, especialmente porque evaporadores e secadores têm alto custo de capital.
Comentários finais encorajadores: é normal achar essa cadeia de balanços um pouco chata quando se começa — concentre-se em escrever claramente os balanços de massa total e de componente e em usar relações geométricas simples (como a razão
da torta). Seguindo a ordem de equações que apresentei as incógnitas caem uma a uma, e dá para fazer tudo à mão sem calculadora científica complicada (apenas cuidados aritméticos).
Resposta
(a) Diagrama e análise DOF: sistema global com
fixado tem DOF = 0. Ponto de mistura (isolado) DOF = 1. Evaporador (isolado) DOF = 1. Cristalizador+filtro (isolado) DOF = 2. Equações-chave usadas (ordem eficiente):
(relaciona
e
);
(massa total); combinar as duas para obter
em função de
; depois
; por fim
(para determinar
); então
e
.
(b) Produção máxima de sólido:
. Vazão de alimentação fresca:
. Razão reciclo/alimentação fresca:
.
(c) A da capacidade: vazão de entrada no cristalizador
; composição
(ou
em massa de
).
(d) Operação sugerida para a torta: secagem (possivelmente após lavagem leve) para obter o produto seco; principais custos operacionais: energia térmica para evaporação e secagem (maior item), energia elétrica (bombas, agitadores, ventiladores), utilidades (água, vapor, ar), manutenção, mão-de-obra e tratamento de efluentes.
(b) Produção máxima de
(c) A
(d) Operação sugerida para a torta: secagem (possivelmente após lavagem leve) para obter o produto seco; principais custos operacionais: energia térmica para evaporação e secagem (maior item), energia elétrica (bombas, agitadores, ventiladores), utilidades (água, vapor, ar), manutenção, mão-de-obra e tratamento de efluentes.