Um processo de evaporação-cristalização do tipo descrito no Exemplo 4.5-2 é usado para se obter sulfato de potássio sólido de uma solução aquosa deste sal. A alimentação fresca do processo contém 19,6 \% em massa de \mathrm{K}_{2} \mathrm{SO}_{4}. A torta úmida de filtro consiste em cristais de \mathrm{K}_{2} \mathrm{SO}_{4} sólido e de uma solução 40,0 \% em massa de \mathrm{K}_{2} \mathrm{SO}_{4}, em uma proporção 10 kg cristais/kg solução. O filtrado, também uma solução 40,0 \%, é reciclado para se juntar à alimentação fresca. Da água que alimentou o evaporador, 45,0 \% são evaporados. O evaporador tem uma capacidade máxima de 175 kg de água evaporada/s.
(a) Considere que o processo opera com a sua capacidade máxima. Desenhe e rotule o diagrama de fluxo e faça a análise dos graus de liberdade para o sistema global, o ponto de mistura alimentação fresca-reciclo, o evaporador e o cristalizador. Escreva depois em uma ordem eficiente (minimizando as equações simultâneas) as equações que usaria para resolver as incógnitas. Em cada equação, indique a variável a ser determinada, mas não faça os cálculos ainda.
(b) Calcule a taxa de produção máxima de \mathrm{K}_{2} \mathrm{SO}_{4} sólido, a vazão na qual a alimentação fresca deve ser suprida para garantir esta taxa de produção e a razão kg reciclo/kg alimentação fresca.
(c) Calcule a composição e a vazão da corrente que entra no cristalizador se o processo é escalonado para 75 \% da sua capacidade máxima.
(d) A torta úmida de filtro é submetida a uma outra operação depois de deixar o filtro. Sugira qual poderia ser esta operação. Quais você pensa que seriam os principais custos operacionais deste processo?

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados nos são dados.
  • Pedido do problema, dividido por itens:
    (a) desenhar e rotular o diagrama de fluxo; fazer análise dos graus de liberdade (global, ponto de mistura alimentação–reciclo, evaporador e cristalizador); escrever, numa ordem eficiente, as equações que usaria para resolver as incógnitas (indicar para cada equação qual variável ela determina). Não calcular ainda.
    (b) calcular a taxa de produção máxima de \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4 sólido, a vazão da alimentação fresca necessária para essa produção máxima e a razão \mathrm{kg\\ reciclo}/\mathrm{kg\\ alimentação\\ fresca}çã.
    (c) calcular a composição e a vazão da corrente que entra no cristalizador quando o processo opera a 75\% da capacidade máxima.
    (d) sugerir uma operação posterior para a torta úmida e indicar os principais custos operacionais do processo.
  • Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
    • Composição da alimentação fresca: \,x_F = 19{,}6\% em massa de \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4. Ou seja, x_F = 0,196.
    • A torta úmida do filtro consiste em cristais sólidos e de uma solução com 40{,}0\% em massa de \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4, em proporção 10\\ \mathrm{kg\\ cristais}/\mathrm{kg\\ solução}çã (ou seja, para cada 10 kg de cristais há 1 kg de solução retida na torta).
    • O filtrado é também solução 40{,}0\% e é reciclado integralmente para a mistura com a alimentação fresca.
    • Do total de água que entra no evaporador, 45{,}0\% são evaporados (relação fixa do enunciado).
    • Capacidade máxima de evaporação: E_{\max} = 175\\ \mathrm{kg/s} de água evaporada.
    • Pressupostos físicos usuais (implícitos no enunciado): o vapor é essencialmente água pura (nenhum componente soluto é volatilizado); as composições dadas referem-se a fração mássica.
Observações de entendimento (não resolvo nada aqui, só deixo claro):
  • A corrente de entrada do cristalizador é o concentrado saindo do evaporador.
  • Da separação sólido–líquido (filtro) saem duas correntes: a torta (cristais + solução retida) e o filtrado (solução 40\%), este último é o recirculado.
  • A produção de \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4 sólido refere-se à massa de cristais (sólido) por unidade de tempo (não inclui a massa de \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4 dissolvida na solução que fica retida na torta).

Passo 2

Esboço e rotulação do diagrama de fluxo (descrito em palavras e variáveis que vou usar).
  • Correntes e pontos principais (cada variável é taxa mássica em \mathrm{kg/s}):
    • F = vazão de alimentação fresca (kg/s), com x_F = 0,196 fração mássica \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4.
    • R = vazão do reciclo (filtrado) (kg/s), com x_R = 0,400.
    • Corrente de alimentação para o evaporador (mistura): F_{ev} = F + R.
    • Evaporador: evapora água à taxa E (kg/s). Do enunciado, quando em capacidade máxima E = E_{\max} = 175\\ \mathrm{kg/s}.
    • Saída do evaporador (líquido concentrado) vai para o cristalizador; chamo essa vazão de L (kg/s).
    • Cristalizador + filtro: forma cristais (sólido) à taxa S (kg/s) — essa é a produção sólida pedida em (b). A torta contém ainda solução retida em razão 10\\ \mathrm{kg\\ cristais}/\mathrm{kg\\ solução}çã: logo massa da solução retida na torta = S/10.
    • Filtrado (solução 40{,}0\%) sai do filtro com vazão R (recolocado ao mix).
  • Relações óbvias de fluxo:
    • Massa total no evaporador: F+R = L + E.
    • Massa no cristalizador+filtro: L = (S + S/10) + R = 1{,}1\,S + R.

Passo 3

Explicação das leis fundamentais e como vamos usá-las (mini-aula, bem didática).
  • Balanço de massa total: para qualquer equipamento, a soma das massas que entram = soma das massas que saem (Lei de conservação da massa).
  • Balanço de componente (aqui o componente importante é \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4): massa de \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4 que entra = massa que sai (porque não há reações químicas que consumam o sal).
    • Para transformar fração mássica x em massa do soluto em uma corrente de vazão M: massa de soluto = x\cdot M.
  • Interpretação da torta do filtro: a torta é composta por
    • cristais (massa S, todo soluto em estado sólido), e
    • solução retida na torta (massa S/10), que contém 0{,}40\times(S/10) de \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4 dissolvido.
    • Portanto, a massa total de \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4 que sai do sistema com a torta é S + 0{,}40\cdot(S/10) = S + 0{,}04\,S = 1{,}04\,S.
  • Evaporador: pressupõe-se que só água é retirada no vapor, logo todo o \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4 permanece na linha líquida.
  • Grau de liberdade (DOF): para um subsistema, DOF = número de incógnitas independentes − número de equações independentes. Se DOF = 0 é determinado; se DOF > 0 faltam especificações; se DOF < 0 o sistema está sobrespecificado.

Passo 4

Análise dos graus de liberdade (DOF) — sistema global e unidades.
Vou definir as incógnitas mínimas úteis para cada bloco e contar as equações independentes que aplicam.
  1. Sistema global (considerando que o evaporador está operando na capacidade máxima E=175\\ \mathrm{kg/s}; logo E é um dado fixo):
  • incógnitas independentes essenciais: F,\\ R,\\ S. (Escolho estas 3 porque E está fixado e outras vazões são funções delas.)
  • equações independentes aplicáveis ao sistema global:
    A. Balanço de componente \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4 global: todo o sal vindo da alimentação fresca sai no produto torta → \;0{,}196\,F = 1{,}04\,S.
    B. Balanço de massa total envolvendo evaporador/cristalizador: F - E = 1{,}1\,S (obtido de F+R - E = 1{,}1S + R, simplifica-se).
    C. Relação de água evaporada: E = 0{,}45\,(0{,}804\,F + 0{,}60\,R) (a água na alimentação é 0{,}804F; na recirculação é 0{,}60R; 45\% dessa água é evaporada).
  • número de equações = 3; incógnitas = 3 → DOF = 0. Conclusão: sistema global está totalmente determinado quando E é fixado.
  1. Ponto de mistura (alimentação fresca F + reciclo R → mistura que vai ao evaporador):
  • incógnitas: F,\\ R, e composição da mistura x_{mix} (ou apenas F e R se só interessar a massa total).
  • equações: soma das vazões: F_{ev}=F+R (definição), e balanço do componente: x_{mix}(F+R)=0{,}196\,F + 0{,}40\,R.
  • incógnitas efetivas 3, equações 2 → DOF = 1 (é necessário um valor adicional: por exemplo, conhecer F ou R ou F_{ev}). No contexto do sistema global, F e R são determinados pelo restante do fluxo de massa e pela equação de evaporação, então o ponto de mistura não é livre globalmente; isolado, tem DOF 1.
  1. Evaporador (unidade isolada):
  • incógnitas: vazão de alimentação F_{ev}=F+R, vazão de vapor E e vazão de líquido concentrado L, e possivelmente a composição do líquido x_{L}.
  • equações independentes: balanço de massa total (1), balanço do componente (0 porque o componente não sai no vapor — mas isso é uma equação útil: massa do soluto no líquido de saída = massa do soluto na alimentação), e a especificação dada E = 0{,}45 da água de alimentação (que liga E a F e R). Contando: incógnitas 4 (se incluir x_L), equações 3 → DOF = 1. Em outras palavras, com a especificação da fração de água evaporada pode-se obter E em termos de F,R; se E é fixado (caso da capacidade), a evaporador fica determinado.
  1. Cristalizador + filtro (unidade isolada):
  • incógnitas principais: vazão de entrada L, vazão de cristais S, vazão do filtrado R (reciclo), e composição do filtrado (dado 0,40) e massa de solução retida na torta (dada pela razão 10:1).
  • equações: balanço de massa total: L = 1{,}1\,S + R; balanço de \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4: x_{L}L = S + 0{,}40\cdot(S/10) + 0{,}40\,R. Se x_L não for conhecida, estas são 2 equações para 4 incógnitas → DOF = 2. Na prática, x_L vem do evaporador (é o líquido concentrado), então unidades se acoplam e o sistema fica determinado.
Resumo DOF: quando se considera o sistema acoplado e fixa-se E = 175\\ \mathrm{kg/s}, o sistema global tem DOF = 0 (determinístico). Unidades isoladas têm DOF positivos a menos que sejam acopladas ou alguma especificação adicional seja dada.

Passo 5

Equações independentes e ordem eficiente para resolver (minimizando equações simultâneas). Em cada equação indico a variável que essa equação resolve (ou expressa).
Vou listar as equações com explicação breve e indicar a variável a ser obtida por ela (a ordem é a que minimiza simultaneidade).
Ordem eficiente proposta:
  1. Usar o balanço de componente global para relacionar S com F. Essa equação dá S em função de F.
    0{,}196\,F = 1{,}04\,S.
    — Variável determinada: expressa S em função de F: \,S = \dfrac{0{,}196}{1{,}04}\,F.
  2. Usar o balanço de massa total do conjunto evaporador+cristalizador (simplificado) para relacionar F, E, e S:
    F - E = 1{,}1\,S.
    — Variável determinada: dadas E e S esta equação dá F; mas combinada com (1) permite resolver diretamente S quando E é conhecido. Em prática vou substituir a relação de (1) em (2) para obter S em função de E.
  3. Combinar (1) e (2) para obter S explicitamente em função de E. (Isso reduz o problema a uma equação simples em S se E for dado.)
    — Variável determinada: S numérico (quando E é fixo).
  4. Calcular F a partir de (2) depois de conhecido S:
    F = E + 1{,}1\,S.
    — Variável determinada: F.
  5. Finalmente usar a relação da evaporação (a especificação que liga E com a água que entrou) para determinar R:
    E = 0{,}45\,(0{,}804\,F + 0{,}60\,R).
    — Variável determinada: R.
  6. Verificação / cálculo de correntes derivadas:
    • Vazão do líquido que entra no cristalizador: L = F + R - E— Variável determinada: L.
    • Composição da corrente para o cristalizador: x_{L} = \frac{0{,}196\,F + 0{,}40\,R}{L}.— Variável determinada: x_L (fração mássica de \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4 na alimentação do cristalizador).
    • Razão reciclo/alimentação fresca: \frac{R}{F}.— Variável determinada: razão adimensional.
Observação: esta ordem (1) → (2) → (3) → (4) → (5) isola as incógnitas uma a uma, evitando a solução simultânea de múltiplas equações.

Passo 6

Agora resolvo numericamente o item (b) usando a ordem de equações proposta (agora faço os cálculos).
Dado operacional para (b): operando na capacidade máxima do evaporador, E = E_{\max} = 175\\ \mathrm{kg/s}.
  1. Combinar (1) e (2) para obter S em função de E.
  • Recordando (1): \;S = \dfrac{0{,}196}{1{,}04}\,F.
  • Recordando (2): \;F = E + 1{,}1\,S.
Substituo F da (2) na expressão de (1):
S = \frac{0{,}196}{1{,}04}\,(E + 1{,}1\,S).
Agora isolo S:
S - \frac{0{,}196}{1{,}04}\cdot 1{,}1\,S = \frac{0{,}196}{1{,}04}\,E.
Calculo numérico dos coeficientes:
\frac{0{,}196}{1{,}04} = \frac{49}{260}\approx 0{,}1884615385.
\frac{49}{260}\cdot 1{,}1 = \frac{49\cdot 11}{260\cdot 10} = \frac{539}{2600}\approx 0{,}2073076923.
Logo:
S\left(1 - \frac{539}{2600}\right) = \frac{49}{260} E \quad\Rightarrow\quad S\left(\frac{2061}{2600}\right) = \frac{49}{260}E.
Isolando S:
S = \frac{49}{260}\cdot\frac{2600}{2061}\,E = \frac{490}{2061}\,E.
Substituindo E = 175\\ \mathrm{kg/s}:
S = \frac{490}{2061}\times 175 = \frac{85750}{2061}\\ \mathrm{kg/s}.
Cálculo numérico:
S \approx 41{,}606\\ \mathrm{kg/s}.
  1. Calcular F com F = E + 1{,}1\,S:
F = 175 + 1{,}1\times 41{,}606 \approx 175 + 45{,}7666 \approx 220{,}767\\ \mathrm{kg/s}.
  1. Calcular R a partir da relação de evaporação:
E = 0{,}45\,(0{,}804\,F + 0{,}60\,R).
Isolando R:
0{,}60\,R = \frac{E}{0{,}45} - 0{,}804\,F \quad\Rightarrow\quad R = \frac{1}{0{,}60}\left(\frac{E}{0{,}45} - 0{,}804\,F\right).
Substituindo valores numéricos:
\frac{E}{0{,}45} = \frac{175}{0{,}45} \approx 388{,}8888889\\ \mathrm{kg/s}.
0{,}804\,F \approx 0{,}804\times 220{,}767 \approx 177{,}496\\ \mathrm{kg/s}.
0{,}60\,R \approx 388{,}889 - 177{,}496 \approx 211{,}393\\ \mathrm{kg/s}.
R \approx \frac{211{,}393}{0{,}60} \approx 352{,}321\\ \mathrm{kg/s}.
  1. Calcular a razão R/F:
\frac{R}{F} \approx \frac{352{,}321}{220{,}767} \approx 1{,}596.
Resumo numérico do item (b):
  • produção máxima de \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4 sólido: S \approx 41{,}606\\ \mathrm{kg/s}.
  • vazão de alimentação fresca necessária: F \approx 220{,}767\\ \mathrm{kg/s}.
  • razão \mathrm{kg\\ reciclo}/\mathrm{kg\\ alimentação\\ fresca}çã: R/F \approx 1{,}596.

Passo 7

Item (c): operar a 75\% da capacidade máxima. Recalculo as correntes de entrada do cristalizador.
  • Primeiro ajuste da evaporação:
E_{75\%} = 0{,}75\cdot 175 = 131{,}25\\ \mathrm{kg/s}.
Como vimos antes, S é proporcional a E (pela expressão S = \dfrac{490}{2061}\,E). Logo:
S_{75\%} = \frac{490}{2061}\,E_{75\%} = 0{,}75\cdot S_{\max}.
Numericamente:
S_{75\%} \approx 0{,}75\times 41{,}606 \approx 31{,}2045\\ \mathrm{kg/s}.
  • Calcular F_{75\%} usando F = E + 1{,}1\,S:
F_{75\%} = 131{,}25 + 1{,}1\times 31{,}2045 \approx 131{,}25 + 34{,}32495 \approx 165{,}57495\\ \mathrm{kg/s}.
  • Calcular R_{75\%} usando E = 0{,}45(0{,}804F + 0{,}60R):
\frac{E_{75\%}}{0{,}45} = \frac{131{,}25}{0{,}45} = 291{,}6666667\\ \mathrm{kg/s}.
0{,}60\,R_{75\%} = 291{,}6666667 - 0{,}804\times 165{,}57495 \approx 291{,}6666667 - 133{,}12226 \approx 158{,}54441.
R_{75\%} \approx \frac{158{,}54441}{0{,}60} \approx 264{,}24068\\ \mathrm{kg/s}.
  • Vazão que entra no cristalizador:
L_{75\%} = F_{75\%} + R_{75\%} - E_{75\%} \approx 165{,}57495 + 264{,}24068 - 131{,}25 \approx 298{,}56563\\ \mathrm{kg/s}.
  • Composição (fração mássica de \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4) da corrente de alimentação do cristalizador:
    A massa de \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4 naquela corrente é a soma do soluto vindo de F e de R:
m_{\text{K},L} = 0{,}196\,F_{75\%} + 0{,}40\,R_{75\%}.
Numérico:
m_{\text{K},L} \approx 0{,}196\times 165{,}57495 + 0{,}40\times 264{,}24068 \approx 32{,}45269 + 105{,}69627 \approx 138{,}14896\\ \mathrm{kg/s}.
Então a fração mássica:
x_{L} = \frac{m_{\text{K},L}}{L_{75\%}} \approx \frac{138{,}14896}{298{,}56563} \approx 0{,}4629.
Ou seja, x_L \approx 46{,}29\% em massa de \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4 (a concentração aumentou em relação ao filtrado de 40\%, como esperado, porque houve evaporação).
Resumo item (c):
  • vazão que entra no cristalizador: L_{75\%} \approx 298{,}566\\ \mathrm{kg/s}.
  • composição dessa corrente: x_{L} \approx 0{,}4629 (ou 46{,}29\% em massa de \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4).

Passo 8

Item (d): sugestão de operação posterior à torta úmida e principais custos operacionais (resposta qualitativa, justificada).
  • Operação sugerida para a torta úmida:
    • Secagem (dryer) — a torta úmida contém cristais + solução retida; para obter \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4 seco em forma comercial necessita-se remover a solução remanescente. Portanto um equipamento típico é um secador (por exemplo: secador de leito fluidizado, secador rotativo ou leito de ar quente), possivelmente precedido por uma lavagem leve da torta se for desejável reduzir impurezas ou concentração de mãe liquor.
    • Alternativa comum: lavagem do leito/torta com água / solução de baixa concentração para reduzir impurezas e depois secagem. A lavagem deve ser dimensionada para não dissolver demasiadamente os cristais (usar temperatura e volume ótimos).
  • Principais custos operacionais esperáveis:
    1. Energia térmica para evaporação e secagem — provavelmente o maior custo. A evaporação no evaporador (remover até 175 kg/s de água) exige vapor/energia maciça; secagem da torta também consome energia. Se o vapor é gerado a partir de combustível/eletricidade, isso será um custo operacional dominante.
    2. Energia elétrica para bombas, agitadores, filtros e ventiladores (secador) — importante e contínuo.
    3. Água de reposição / utilidades (água para lavagem, água de resfriamento, água de caldeira) e tratamento de efluentes — custo e ainda custo de conformidade ambiental.
    4. Manutenção e reposição de peças (filtros, dispositivos de secagem, trocadores de calor) — impacto relevante em custo fixo/operacional.
    5. Custos de mão-de-obra e supervisão operacional.
    6. Tratamento de resíduos e descarte (se houver concentrações residuais que não sejam recicladas).
    7. Investimento amortizado (CAPEX) influencia o custo unitário do produto, especialmente porque evaporadores e secadores têm alto custo de capital.
Comentários finais encorajadores: é normal achar essa cadeia de balanços um pouco chata quando se começa — concentre-se em escrever claramente os balanços de massa total e de componente e em usar relações geométricas simples (como a razão 10:1 da torta). Seguindo a ordem de equações que apresentei as incógnitas caem uma a uma, e dá para fazer tudo à mão sem calculadora científica complicada (apenas cuidados aritméticos).

Resposta

(a) Diagrama e análise DOF: sistema global com E fixado tem DOF = 0. Ponto de mistura (isolado) DOF = 1. Evaporador (isolado) DOF = 1. Cristalizador+filtro (isolado) DOF = 2. Equações-chave usadas (ordem eficiente): \;0{,}196\,F = 1{,}04\,S (relaciona S e F); \;F - E = 1{,}1\,S (massa total); combinar as duas para obter S em função de E; depois F = E + 1{,}1\,S; por fim E = 0{,}45(0{,}804\,F + 0{,}60\,R) (para determinar R); então L = F+R-E e x_L=(0{,}196F+0{,}40R)/L.
(b) Produção máxima de \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4 sólido: S \approx 41{,}606\\ \mathrm{kg/s}. Vazão de alimentação fresca: F \approx 220{,}767\\ \mathrm{kg/s}. Razão reciclo/alimentação fresca: R/F \approx 1{,}596.
(c) A 75\% da capacidade: vazão de entrada no cristalizador L \approx 298{,}566\\ \mathrm{kg/s}; composição x_{L}\approx 0{,}4629 (ou 46{,}29\% em massa de \mathrm{K}_2\mathrm{SO}_4).
(d) Operação sugerida para a torta: secagem (possivelmente após lavagem leve) para obter o produto seco; principais custos operacionais: energia térmica para evaporação e secagem (maior item), energia elétrica (bombas, agitadores, ventiladores), utilidades (água, vapor, ar), manutenção, mão-de-obra e tratamento de efluentes.

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