Resolva o seguinte problema de valor inicial: (2,5)
\left\{\begin{array}{c} y^{(4)}-3 y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0 \\\ y(0)=y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=y^{\prime \prime \prime}(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O problema pede a solução do problema de valor inicial (PVI)
\left\{\begin{array}{l} y^{(4)}-3y^{(3)}+3y''-y'=0,\\[4pt] y(0)=0,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=1,\quad y^{(3)}(0)=1. \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma equação diferencial linear de ordem 4 com coeficientes constantes.
  • São dadas quatro condições iniciais em x=0, suficientes para determinar as quatro constantes da solução geral.
  • A equação homogênea escrita é \;y^{(4)}-3y^{(3)}+3y''-y'=0.]

Passo 2

Para equações lineares com coeficientes constantes construímos a equação característica substituindo y^{(k)} por r^{k}. Assim a equação característica é
r^{4}-3r^{3}+3r^{2}-r=0.
Vou fatorar esse polinômio. Note que todos os termos têm um fator r, então
r^{4}-3r^{3}+3r^{2}-r = r\bigl(r^{3}-3r^{2}+3r-1\bigr).
Reconhecemos r^{3}-3r^{2}+3r-1=(r-1)^{3} (pois (r-1)^{3}=r^{3}-3r^{2}+3r-1). Portanto a fatoração completa é
r\,(r-1)^{3}=0.
Daqui obtemos as raízes da característica:
  • r=0 é uma raiz simples (multiplicidade 1);
  • r=1 é raiz de multiplicidade 3.

Passo 3

Regra importante (mini-aula): para uma equação linear com raízes da característica reais, se r é raiz simples a contribuição é C e^{rx}; se r é raiz de multiplicidade m a contribuição é (C_1 + C_2 x + \cdots + C_m x^{m-1})e^{rx}. Aplicando isso aqui, a solução geral da EDO é
y(x)=C_{1}+ \bigl(C_{2}+C_{3}x+C_{4}x^{2}\bigr)e^{x},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora vamos calcular derivadas até a terceira ordem para impor as condições iniciais. Para facilitar, defino o polinômio
P(x)=C_{2}+C_{3}x+C_{4}x^{2},
de modo que
y(x)=C_{1}+e^{x}P(x).
Vou usar a regra do produto repetidas vezes. Primeira derivada:
y'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}P(x)\bigr)=e^{x}P(x)+e^{x}P'(x)=e^{x}\bigl(P+P'\bigr).
Segunda derivada:
y''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}(P+P')\bigr)=e^{x}(P+P')+e^{x}(P'+P'')=e^{x}\bigl(P+2P'+P''\bigr).
Terceira derivada:
y^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}(P+2P'+P'')\bigr)=e^{x}(P+2P'+P'')+e^{x}(P'+2P''+P''')
\Rightarrow\quad y^{(3)}(x)=e^{x}\bigl(P+3P'+3P''+P'''\bigr).
Observação: P(x) é de grau 2, logo P'''(x)=0. Além disso, explicitamente,
P(0)=C_{2},\qquad P'(x)=C_{3}+2C_{4}x,\qquad P'(0)=C_{3},\qquad P''(x)=2C_{4},\qquad P''(0)=2C_{4}.

Passo 5

Agora avaliamos as derivadas em [x=0) e aplicamos as condições iniciais. Usando as fórmulas acima:
Para y(0):
y(0)=C_{1}+e^{0}P(0)=C_{1}+C_{2}\stackrel{!}{=}0.
Logo
C_{1}+C_{2}=0\quad\Rightarrow\quad C_{1}=-C_{2}.
Para y'(0):
y'(0)=e^{0}\bigl(P(0)+P'(0)\bigr)=C_{2}+C_{3}\stackrel{!}{=}0.
Logo
C_{2}+C_{3}=0\quad\Rightarrow\quad C_{3}=-C_{2}.
Para y''(0):
y''(0)=e^{0}\bigl(P(0)+2P'(0)+P''(0)\bigr)=C_{2}+2C_{3}+2C_{4}\stackrel{!}{=}1.
Substituindo C_{3}=-C_{2}:
C_{2}+2(-C_{2})+2C_{4}=-C_{2}+2C_{4}=1.
Portanto temos a equação
- C_{2}+2C_{4}=1. \quad (1)
Para y^{(3)}(0):
y^{(3)}(0)=e^{0}\bigl(P(0)+3P'(0)+3P''(0)\bigr)=C_{2}+3C_{3}+6C_{4}\stackrel{!}{=}1.
Substituindo C_{3}=-C_{2}:
C_{2}+3(-C_{2})+6C_{4}=-2C_{2}+6C_{4}=1.
Portanto
-2C_{2}+6C_{4}=1. \quad (2)
Agora resolvo o sistema linear formado por (1) e (2):
\begin{cases} - C_{2}+2C_{4}=1,\\[4pt] -2C_{2}+6C_{4}=1. \end{cases}
Multiplicando a primeira equação por 2\] obtém-se \(-2C_{2}+4C_{4}=2. Subtraindo essa da segunda equação:
(-2C_{2}+6C_{4}) - (-2C_{2}+4C_{4}) = 1-2 \quad\Rightarrow\quad 2C_{4}=-1.
Logo
C_{4}=-\tfrac{1}{2}.
Substituindo em (1):
- C_{2}+2\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=1\quad\Rightarrow\quad -C_{2}-1=1\quad\Rightarrow\quad C_{2}=-2.
E então
C_{3}=-C_{2}=2,\qquad C_{1}=-C_{2}=2.]

Passo 6

Substituindo as constantes na solução geral
y(x)=C_{1}+e^{x}\bigl(C_{2}+C_{3}x+C_{4}x^{2}\bigr)
obtemos
y(x)=2+e^{x}\Bigl(-2+2x-\tfrac{1}{2}x^{2}\Bigr).
Uma forma mais elegante (completando quadrado) é notar que -2+2x-\tfrac{1}{2}x^{2}=-\tfrac{1}{2}(x-2)^{2}. Portanto podemos escrever
y(x)=2-\tfrac{1}{2}e^{x}(x-2)^{2}.
Se quiser, dá para verificar rapidamente que essa função satisfaz as quatro condições iniciais (substituindo x=0 ou derivando explicitamente).

Resposta

y(x)=2+e^{x}\Bigl(-2+2x-\tfrac{1}{2}x^{2}\Bigr)=2-\tfrac{1}{2}e^{x}(x-2)^{2}

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