Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
O problema pede a solução do problema de valor inicial (PVI)
Informações relevantes fornecidas:
- É uma equação diferencial linear de ordem
com coeficientes constantes. - São dadas quatro condições iniciais em
, suficientes para determinar as quatro constantes da solução geral. - A equação homogênea escrita é
.]
Passo 2
Para equações lineares com coeficientes constantes construímos a equação característica substituindo
por
. Assim a equação característica é
Vou fatorar esse polinômio. Note que todos os termos têm um fator
, então
Reconhecemos
(pois
). Portanto a fatoração completa é
Daqui obtemos as raízes da característica:
-
é uma raiz simples (multiplicidade ); -
é raiz de multiplicidade .
Passo 3
Regra importante (mini-aula): para uma equação linear com raízes da característica reais, se
é raiz simples a contribuição é
; se
é raiz de multiplicidade
a contribuição é
. Aplicando isso aqui, a solução geral da EDO é
onde
são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora vamos calcular derivadas até a terceira ordem para impor as condições iniciais. Para facilitar, defino o polinômio
de modo que
Vou usar a regra do produto repetidas vezes. Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Observação:
é de grau
, logo
. Além disso, explicitamente,
Passo 5
Agora avaliamos as derivadas em [x=0) e aplicamos as condições iniciais. Usando as fórmulas acima:
Para
:
Logo
Para
:
Logo
Para
:
Substituindo
:
Portanto temos a equação
Para
:
Substituindo
:
Portanto
Agora resolvo o sistema linear formado por (1) e (2):
Multiplicando a primeira equação por
. Subtraindo essa da segunda equação:
Logo
Substituindo em (1):
E então
Passo 6
Substituindo as constantes na solução geral
obtemos
Uma forma mais elegante (completando quadrado) é notar que
. Portanto podemos escrever
Se quiser, dá para verificar rapidamente que essa função satisfaz as quatro condições iniciais (substituindo
ou derivando explicitamente).