(Mistura de Solução de Salmoura) Considere um tanque com 1.000 litros (L) de água pura que é conectado a dutos de suprimento e descarga. Em
, ambos os dutos estão abertos, e a salmoura (solução de água e sal), contendo
de sal para cada litro de água, é suprida ao tanque com uma vazão de
. A salmoura deixa o tanque pelo
duto de descarga também com uma vazão de
, após sua mistura com a água pura.
Assuma que o sal dissolvido na água não altera seu volume. Como esperado, a quantidade de sal no tanque aumenta com o tempo, mesmo que o nível do tanque se mantenha inalterado.
Problema: Obtenha uma relação para a quantidade de sal no tanque a qualquer tempo
e determine a quantidade máxima de sal que o tanque eventualmente conterá.
Sugestão: Seja
a massa de sal no tanque a qualquer tempo
. O princípio de conservação de massa para a quantidade de sal no tanque pode ser expresso como:
onde o primeiro termo representa a taxa de entrada de sal na solução e o segundo termo representa a taxa de saída, que depende da concentração atual de sal no tanque.
duto de descarga também com uma vazão de
Assuma que o sal dissolvido na água não altera seu volume. Como esperado, a quantidade de sal no tanque aumenta com o tempo, mesmo que o nível do tanque se mantenha inalterado.
Problema: Obtenha uma relação para a quantidade de sal no tanque a qualquer tempo
Sugestão: Seja
Passo 1
O enunciado descreve um tanque com volume constante de 1000 L onde entra e sai salmoura: conteúdo do tópico é equações diferenciais lineares de primeira ordem para balanço de massa de sal. Vamos usar conservação de massa e resolver a EDO.
Passo 2
Escrevemos a EDO a partir da sugestão: a taxa de entrada de sal é vazão de 50 L/min vezes concentração 0,1 kg/L, e a taxa de saída é vazão de 50 L/min vezes concentração atual M/1000. Assim
Passo 3
Reconhecemos que é uma equação diferencial linear do tipo
. Para resolver, usamos fator integrante
. Multiplicando ambos os lados por
e integrando obtemos
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
:
Passo 5
Substituindo
volta-se à solução geral e isolamos
:
Passo 6
À medida que
, o termo exponencial vai a zero, então a quantidade de sal tende a 100 kg.
Resposta
A quantidade de sal no tanque em qualquer tempo é
e a quantidade máxima eventual é 100 kg.