(Mistura de Solução de Salmoura) Considere um tanque com 1.000 litros (L) de água pura que é conectado a dutos de suprimento e descarga. Em t=0, ambos os dutos estão abertos, e a salmoura (solução de água e sal), contendo 0,1 kg de sal para cada litro de água, é suprida ao tanque com uma vazão de 50 L / min. A salmoura deixa o tanque pelo
duto de descarga também com uma vazão de 50 L / min, após sua mistura com a água pura.
Assuma que o sal dissolvido na água não altera seu volume. Como esperado, a quantidade de sal no tanque aumenta com o tempo, mesmo que o nível do tanque se mantenha inalterado.
Problema: Obtenha uma relação para a quantidade de sal no tanque a qualquer tempo t e determine a quantidade máxima de sal que o tanque eventualmente conterá.
Sugestão: Seja M a massa de sal no tanque a qualquer tempo t. O princípio de conservação de massa para a quantidade de sal no tanque pode ser expresso como:
d Md t=(50 L / min)(0,1 kg / L)-(50 L / min) M1000
onde o primeiro termo representa a taxa de entrada de sal na solução e o segundo termo representa a taxa de saída, que depende da concentração atual de sal no tanque.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque com volume constante de 1000 L onde entra e sai salmoura: conteúdo do tópico é equações diferenciais lineares de primeira ordem para balanço de massa de sal. Vamos usar conservação de massa e resolver a EDO.

Passo 2

Escrevemos a EDO a partir da sugestão: a taxa de entrada de sal é vazão de 50 L/min vezes concentração 0,1 kg/L, e a taxa de saída é vazão de 50 L/min vezes concentração atual M/1000. Assim
dMdt=50cdot0.1 - 50cdotM1000=5 - 0.05,M

Passo 3

Reconhecemos que é uma equação diferencial linear do tipo dMdt+0.05M=5. Para resolver, usamos fator integrante mu(t)=e^0.05t. Multiplicando ambos os lados por mu(t) e integrando obtemos
ddtl(e^0.05tMr)=5e^0.05t implies e^0.05tM=integral5e^0.05tdt=50.05e^0.05t+C=100e^0.05t+C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial M(0)=0:
e^0.05cdot0,M(0)=100e^0+C implies 0=100+C implies C=-100

Passo 5

Substituindo C volta-se à solução geral e isolamos M:
e^0.05tM=100e^0.05t-100 implies M(t)=100-100e^-0.05t=100l(1-e^-0.05tr)

Passo 6

À medida que ttoinfty, o termo exponencial vai a zero, então a quantidade de sal tende a 100 kg.

Resposta

A quantidade de sal no tanque em qualquer tempo é
M(t)=100l(1-e^-0.05tr)(kg)
e a quantidade máxima eventual é 100 kg.

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