Resolva as equações:
.

Passo 1

Enunciado resumido: Resolver a ODE linear de primeira ordem y' - 4x y = -2x^3. Matéria: equações diferenciais lineares de 1º ordem. Para resolver, vamos usar o fator integrante.

Passo 2

Identificamos a forma padrão y' + P(x) y = Q(x), aqui P(x) = -4x. O fator integrante mu(x) é exp(integral P(x),dx).

Passo 3

Calculando o fator integrante:
mu(x) = expl(integral -4x,dxr) = exp(-4ln x)=x^-4
Esse fator faz com que o lado esquerdo da equação vire derivada de mu y.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x^-4:
;x^-4 y' - 4x x^-4y = -2x^3x^-4
O lado esquerdo passa a ser ddx(x^-4y) e o direito é -2x^-7.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx(x^-4y),dx = integral -2x^-7,dx
Isso dá
x^-4y = -2 cdot x^-6-6 + C = 13x^-6 + C

Passo 6

Isolando y, multiplicamos por x^4:
y = x^4 l(13x^-6 + Cr) = 13x^-2 + Cx^4

Resposta

A solução geral é y = 13x^2 + C x^4.

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