Misturam-se 200 g de água a 90^{\circ} \mathrm{C} com 300 g de água a 25^{\circ} \mathrm{C} em um calorímetro ideal. a) Determine a temperatura final de equilíbrio. b) Explique quais premissas precisam ser feitas para o cálculo ser válido.

Passo 1

Vou listar de forma bem clara o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados que peguei do enunciado:
    • massa da água quente: m_1 = 200\\ \mathrm{g}.
    • temperatura inicial da água quente: T_1 = 90^\circ\mathrm{C}.
    • massa da água fria: m_2 = 300\\ \mathrm{g}.
    • temperatura inicial da água fria: T_2 = 25^\circ\mathrm{C}.
    • o processo ocorre em um calorímetro ideal (o enunciado já disse isso).
  • O enunciado pede:
    • (a) determinar a temperatura final de equilíbrio T_f.
    • (b) explicar quais premissas (hipóteses) são necessárias para que o cálculo seja válido.

Passo 2

Entender o conceito físico que vamos usar (a “aula rápida”): calor e capacidade térmica.
  • Quando duas porções de água a temperaturas diferentes são misturadas, troca-se calor até atingir uma temperatura única de equilíbrio térmico T_f.
  • A quantidade de calor trocada por uma massa m de água ao variar sua temperatura é dada por:
Q = m\,c\,\Delta T,
onde:
  • Q é o calor (em joules se m estiver em gramas e c em \mathrm{J/(g\,^\circ C)}),
  • m é a massa da substância (aqui em gramas),
  • c é o calor específico (para a água, aproximadamente c = 4{,}18\\ \mathrm{J/(g\,^\circ C)}),
  • \Delta T é a variação de temperatura ( \Delta T = T_{\text{final}} - T_{\text{inicial}}).
  • Importante: se usamos a mesma substância (água) para ambos os corpos, o c é o mesmo e frequentemente cancela nas contas — isso simplifica bastante.

Passo 3

Aplicar conservação de energia no calorímetro ideal (a “regra do jogo”).
  • Em um calorímetro ideal, não há troca de calor com o ambiente nem com o próprio recipiente. Logo o calor perdido pela água quente é igual ao calor ganho pela água fria:
\text{calor perdido pela parte quente} = \text{calor ganho pela parte fria}.
  • Escrevendo isso com as fórmulas:
m_1 c (T_1 - T_f) = m_2 c (T_f - T_2).
Escolhi essa forma para que todas as quantidades no lado esquerdo sejam positivas ( T_1>T_f e T_f>T_2), evitando sinais negativos confusos.

Passo 4

Algebra para isolar T_f (mostrando passo a passo).
  • Começo com:
m_1 c (T_1 - T_f) = m_2 c (T_f - T_2).
  • Como o c é o mesmo para ambas as porções de água, posso dividir os dois lados por c:
m_1 (T_1 - T_f) = m_2 (T_f - T_2).
  • Expandindo:
m_1 T_1 - m_1 T_f = m_2 T_f - m_2 T_2.
  • Agrupando os termos com T_f num mesmo lado:
m_1 T_1 + m_2 T_2 = m_1 T_f + m_2 T_f = (m_1 + m_2) T_f.
  • Portanto:
T_f = \frac{m_1 T_1 + m_2 T_2}{m_1 + m_2}.
Observação didática: essa fórmula é uma média ponderada das temperaturas iniciais, com os pesos sendo as massas; faz sentido físico: a porção maior “puxa” mais o resultado para sua temperatura.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (sem pular contas).
  • Substituindo m_1 = 200, T_1 = 90, m_2 = 300, T_2 = 25 (unidades: gramas e graus Celsius):
T_f = \frac{200\cdot90 + 300\cdot25}{200 + 300}.
  • Calcular numeradores parciais:
200\cdot90 = 18\,000, \qquad 300\cdot25 = 7\,500.
  • Somando:
18\,000 + 7\,500 = 25\,500.
  • Denominador:
200 + 300 = 500.
  • Dividindo:
T_f = \frac{25\,500}{500} = 51.
  • Portanto a temperatura final é T_f = 51^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Pequena explicação sobre unidades e por que usei °C sem problema.
  • Ao calcular variações de temperatura e médias ponderadas entre temperaturas numa mesma escala com deslocamento zero arbitrário, tanto faz usar ^\circ\mathrm{C} ou \mathrm{K} — a diferença entre temperaturas é a mesma em ambas as escalas. Aqui usamos ^\circ\mathrm{C} por ser mais prático.
  • Usei gramas e o calor específico em \mathrm{J/(g\,^\circ C)}; se preferisse usar quilogramas a fórmula funciona do mesmo modo (porque as massas fariam a razão e o valor de c também mudaria de unidade correspondente).

Passo 7

Responder a parte (b): listar e explicar as premissas necessárias para que o cálculo seja válido.
  • Premissa 1: o calorímetro é ideal — não troca calor com o ambiente e o próprio recipiente não absorve calor (capacidade térmica do calorímetro desprezível). Se o calorímetro absorvesse calor, parte do calor se perderia nele e T_f seria diferente.
  • Premissa 2: não há mudança de fase (nenhuma vaporização ou condensação). Se parte da água evaporasse (por exemplo, a 90^\circ\mathrm{C} próxima do ponto de ebulição sob pressão local), seria preciso incluir a entalpia de vaporização e o cálculo simples falharia.
  • Premissa 3: o calor específico c da água é constante no intervalo de temperatura considerado. Na prática c varia um pouco com T, mas entre 25^\circ\mathrm{C} e 90^\circ\mathrm{C} essa variação é pequena e o erro resultante é pequeno para problemas de prova.
  • Premissa 4: mistura completa e homogênea sem perdas cinéticas — assume-se que a mistura chega rapidamente ao equilíbrio e que não há energia cinética ou trabalho mecânico relevante (nenhuma agitação que gere aquecimento extra).
  • Premissa 5: as massas e temperaturas iniciais são medidas corretamente e referem-se ao mesmo tipo de substância (aqui: água pura). Se houvesse solutos significativos (sal, etc.), o c e o comportamento seriam diferentes.
  • Se alguma dessas premissas não for verdadeira, o valor calculado de T_f pode estar errado e seria necessário um modelo mais completo (incluir capacidade térmica do calorímetro, calor latente, variação de c com T, perdas para o ambiente etc.).

Resposta

a) T_f = 51^\circ\mathrm{C}
b) Pressupostos: calorímetro ideal (sem troca de calor com o ambiente e sem capacidade térmica do recipiente); ausência de mudança de fase (sem evaporação/condensação); calor específico da água aproximadamente constante no intervalo; mistura completa e homogênea; ambas as amostras são água pura e medidas corretas.

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