(MIT, adaptado) Um gás obedece à equação de estado
e tem uma capacidade térmica
independente da temperatura.
(a) Encontre a relação de Maxwell envolvendo
.
(b) Supondo
constante e calculando
, mostre que
é função apenas de
e
. [Dica: use o resultado do item anterior e escreva primeiro
.]
(c) Mostre que
, que é independente de
e
. [Dica: utilize um resultado do item (d) do exercício 9.]
(d) Mostre que, em uma transformação adiabática experimentada pelo gás, o produto
permanece constante.
(a) Encontre a relação de Maxwell envolvendo
(b) Supondo
(c) Mostre que
(d) Mostre que, em uma transformação adiabática experimentada pelo gás, o produto
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: a equação de estado do gás
onde
é a pressão,
a temperatura,
o volume,
o número de partículas,
a constante de Boltzmann e
uma constante volumétrica. Além disso, a capacidade térmica a volume constante
é dada e é independente de
.
- Perguntas:
(a) Encontrar a relação de Maxwell envolvendo.
(b) Comconstante, calcular e mostrar que é função apenas de e .
(c) Mostrar que, independente de e .
(d) Mostrar que em uma transformação adiabática do gás o produtoé constante.
Agora eu vou resolver passo a passo cada item, explicando cada fórmula e conceito usado.
Passo 2
Derivando a relação de Maxwell pedida.
- Primeiro lembrar a definição da energia livre de Helmholtz
. A diferencial exata de é
onde
é a entropia e
o potencial químico. Deste fato seguem as identidades
- Agora uso a igualdade dos derivados cruzados de
(porque é duas vezes diferenciável): . Diferenciando as identidades acima obtenho
e
Igualando os dois (
) dá a relação de Maxwell
- Aplicando a equação de estado para calcular o lado direito:
Portanto, usando a relação de Maxwell,
Passo 3
Escrevendo
explícito (usar o resultado de cima e a definição de
).
- Definição de
: por definição termodinâmica,
Isto significa que
- Expansão total de
em termos das variáveis naturais e :
- Substituindo as duas derivadas:
Esta fórmula é muito útil: ela diz como a entropia muda com pequenas variações de
e
.
Passo 4
Calculando
com
constante e mostrando que
depende só de
e
.
- Começo pela identidade termodinâmica fundamental (com
variável em geral):
Como o enunciado pede
constante, coloca-se
e fica
- Agora substituo
obtido no Passo 3:
- Simplifico termo a termo:
- Mas pela equação de estado
, o parêntese anula-se:
Logo sobra
- Isto implica que
não varia com quando é fixado: depende apenas de (e, parametricamente, de ). Integrando,
ou seja, tomando a constante apropriada,
onde
é uma função de
apenas. Conclusão do item (b):
é função apenas de
e
.
Passo 5
Calculando
e mostrando que
.
- Definição de
: com constante,
onde
é a entalpia. Outra identidade útil é
, e assim
- Vou usar um caminho simples: escrever
através de . Com dependendo só de ,
Então, pela definição
,
Substituindo
,
- Calcular
usando a equação de estado rearranjada. Da equação de estado,
portanto
Derivando em
com
constante,
- Substituindo em
:
- Finalmente,
Observação: como
foi dada independente de
e
, esse
é independente de
e
.
Passo 6
Mostrando que em uma transformação adiabática
constante.
- Em um processo adiabático e reversível,
. Usando o do Passo 3:
- Separe as variáveis e integre:
Integrando ambos os lados:
Reorganizando:
ou seja
- Agora usar a equação de estado para substituir
em função de e :
Substituindo na relação anterior,
Agrupando os fatores de
:
Mas
(do Passo 5), logo
Isto prova o item (d).
Resposta
(a)
(b)
, logo
depende apenas de
e
; por exemplo
(c)
(d)