A model for the US average price of a pound of white sugar from 1993 to 2003 is given by the function
where
is measured in years since August of 1993. Estimate the times when sugar was cheapest and most expensive during the period 1993-2003.
Passo 1
O enunciado fornece a função que modela o preço médio por libra de açúcar branco no período 1993–2003:
onde
é medido em anos desde agosto de 1993.
O que se pede: estimar os instantes (no intervalo correspondente a 1993–2003) em que o açúcar foi mais barato (mínimo) e mais caro (máximo).
Informações relevantes listadas:
O que se pede: estimar os instantes (no intervalo correspondente a 1993–2003) em que o açúcar foi mais barato (mínimo) e mais caro (máximo).
Informações relevantes listadas:
- O intervalo de interesse em termos de
é (pois 2003 está a anos de agosto de 1993). - Temos uma função polinomial suave; extremos internos ocorrem onde a derivada se anula (ou nas bordas do intervalo).
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular a derivada
e explicar a ideia. A derivada
mede a taxa de variação instantânea do preço; pontos críticos (candidatos a máximo/minimo) satisfazem
Derivamos termo a termo (regra:
). Assim
Simplificando os coeficientes:
Passo 3
Agora precisamos resolver
em
. Para localizar raízes numericamente usamos o método de aproximação por bisecção/avaliação de sinais (bem aplicável aqui): primeiro avalio
em pontos-chave para achar intervalos onde o sinal muda.
Avaliações iniciais:
Interpretação: há pelo menos uma raiz entre
e
(sinal muda de negativo para positivo) e outra entre
e
(positivo para negativo). Em
não encontramos mudança de sinal, então não há raiz adicional nesse intervalo que interesse ao nosso problema. Assim concentramo-nos em achar duas raízes internas: uma em
e outra em
. Também lembraremos de comparar com os valores das bordas
e
.]
Passo 4
Aproximação da primeira raiz em
(bisseção refinada mostrando os passos para você saber aplicar na prova):
Avaliei
(negativo) e
(positivo). Então a raiz está entre
e
.
Refinando:
Logo a raiz está em
. Mais uma iteração:
Assim a raiz está aproximadamente em
. Vamos adotar
Passo 5
Aproximação da segunda raiz em
(mesma ideia):
Avaliei
(positivo) e
(negativo). Então raiz em
.
Refinando:
A raiz fica entre
e
. Interpolando linearmente (ou fazendo mais bisseções) dá aproximadamente
Passo 6
Classificação dos pontos críticos: para saber qual é máximo ou mínimo com segurança precisamos comparar os valores de
nos pontos críticos e também nas bordas
e
. Isso é obrigatório porque o máximo global num intervalo fechado pode ser num extremo interno ou na borda.
Calculamos
nos pontos relevantes (mostro cálculo aproximado das parcelas para você aprender a avaliar um polinômio sem calculadora sofisticada; mantenho as aproximações suficientes para decisão):
- Em
:
- Em
:
Calculei as potências e termos e somei, obtendo
- Em
:
Calculei as potências e termos e somei, obtendo
- Em
:
Passo 7
Comparação dos valores obtidos:
Portanto o menor valor no intervalo
é em
(mínimo global aproximado) e o maior valor é em
(máximo global aproximado). Agora convertemos esses
em datas:
conta anos desde agosto de 1993.
-
anos = meses depois de agosto de 1993 → aproximadamente junho de 1994. -
anos = anos e meses → agosto de 1993 + 4 anos + 7 meses ≈ março de 1998.
Resposta
Mais barato: aproximadamente junho de 1994 (
anos desde agosto de 1993), com
.
Mais caro: aproximadamente março de 1998 ( anos desde agosto de 1993), com
.
Mais caro: aproximadamente março de 1998 (