A model for the US average price of a pound of white sugar from 1993 to 2003 is given by the function
\begin{aligned} S(t)=- & 0.00003237 t^{5}+0.0009037 t^{4}-0.008956 t^{3} \\\ & +0.03629 t^{2}-0.04458 t+0.4074 \end{aligned}
where t is measured in years since August of 1993. Estimate the times when sugar was cheapest and most expensive during the period 1993-2003.

Passo 1

O enunciado fornece a função que modela o preço médio por libra de açúcar branco no período 1993–2003:
\begin{aligned} S(t)=- & 0{,}00003237\,t^{5}+0{,}0009037\,t^{4}-0{,}008956\,t^{3} \\\ & +0{,}03629\,t^{2}-0{,}04458\,t+0{,}4074, \end{aligned}
onde t é medido em anos desde agosto de 1993.
O que se pede: estimar os instantes (no intervalo correspondente a 1993–2003) em que o açúcar foi mais barato (mínimo) e mais caro (máximo).
Informações relevantes listadas:
  • O intervalo de interesse em termos de t é [0,10] (pois 2003 está a 10 anos de agosto de 1993).
  • Temos uma função polinomial suave; extremos internos ocorrem onde a derivada se anula (ou nas bordas do intervalo).

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a derivada S'(t) e explicar a ideia. A derivada S'(t) mede a taxa de variação instantânea do preço; pontos críticos (candidatos a máximo/minimo) satisfazem
S'(t)=0.
Derivamos termo a termo (regra: \dfrac{d}{dt}(a t^n)=a n t^{n-1}). Assim
\begin{aligned} S'(t)=&-5\cdot0{,}00003237\,t^{4}+4\cdot0{,}0009037\,t^{3}-3\cdot0{,}008956\,t^{2} \\\ &+2\cdot0{,}03629\,t-0{,}04458. \end{aligned}
Simplificando os coeficientes:
S'(t)=-0{,}00016185\,t^{4}+0{,}0036148\,t^{3}-0{,}026868\,t^{2}+0{,}07258\,t-0{,}04458.

Passo 3

Agora precisamos resolver S'(t)=0 em [0,10]. Para localizar raízes numericamente usamos o método de aproximação por bisecção/avaliação de sinais (bem aplicável aqui): primeiro avalio S' em pontos-chave para achar intervalos onde o sinal muda.
Avaliações iniciais:
\begin{aligned} S'(0)&=-0{,}04458\quad(\text{negativo}),\\[6pt] S'(1)&\approx 0{,}004585\quad(\text{positivo}),\\[6pt] S'(4)&\approx 0{,}00573\quad(\text{positivo}),\\[6pt] S'(5)&\approx -0{,}00269\quad(\text{negativo}),\\[6pt] S'(10)&\approx -0{,}00928\quad(\text{negativo}). \end{aligned}
Interpretação: há pelo menos uma raiz entre 0 e 1 (sinal muda de negativo para positivo) e outra entre 4 e 5 (positivo para negativo). Em [5,10] não encontramos mudança de sinal, então não há raiz adicional nesse intervalo que interesse ao nosso problema. Assim concentramo-nos em achar duas raízes internas: uma em (0,1) e outra em (4,5). Também lembraremos de comparar com os valores das bordas t=0 e t=10.]

Passo 4

Aproximação da primeira raiz em (0,1) (bisseção refinada mostrando os passos para você saber aplicar na prova):
Avaliei S'(0{,}8)\approx -0{,}00193 (negativo) e S'(0{,}9)\approx 0{,}001496 (positivo). Então a raiz está entre 0{,}8 e 0{,}9.
Refinando:
\begin{aligned} S'(0{,}845)&\approx -0{,}000378\quad(\text{negativo}),\\\ S'(0{,}86)&\approx 0{,}000748\quad(\text{positivo}). \end{aligned}
Logo a raiz está em (0{,}845,0{,}86). Mais uma iteração:
S'(0{,}8525)\approx -0{,}000116\quad(\text{negativo}),\qquad S'(0{,}856)\approx 0{,}000046\quad(\text{positivo}).
Assim a raiz está aproximadamente em t\approx 0{,}854. Vamos adotar
t_1\approx 0{,}854\\ \text{anos (desde agosto de 1993).}

Passo 5

Aproximação da segunda raiz em (4,5) (mesma ideia):
Avaliei S'(4{,}5)\approx 0{,}000426 (positivo) e S'(5)\approx -0{,}002686 (negativo). Então raiz em (4{,}5,5).
Refinando:
\begin{aligned} S'(4{,}58)&\approx 0{,}000264\\ (\text{positivo}),\\\ S'(4{,}6)&\approx -0{,}00009\\ (\text{negativo}). \end{aligned}
A raiz fica entre 4{,}58 e 4{,}6. Interpolando linearmente (ou fazendo mais bisseções) dá aproximadamente
t_2\approx 4{,}595\\ \text{anos (desde agosto de 1993).}

Passo 6

Classificação dos pontos críticos: para saber qual é máximo ou mínimo com segurança precisamos comparar os valores de S nos pontos críticos e também nas bordas t=0 e t=10. Isso é obrigatório porque o máximo global num intervalo fechado pode ser num extremo interno ou na borda.
Calculamos S nos pontos relevantes (mostro cálculo aproximado das parcelas para você aprender a avaliar um polinômio sem calculadora sofisticada; mantenho as aproximações suficientes para decisão):
  1. Em t=0:
S(0)=0{,}4074.
  1. Em t=t_1\approx 0{,}854:
    Calculei as potências e termos e somei, obtendo
S(0{,}854)\approx 0{,}39067\\ (\text{aprox. }0{,}391).
  1. Em t=t_2\approx 4{,}595:
    Calculei as potências e termos e somei, obtendo
S(4{,}595)\approx 0{,}43599\\ (\text{aprox. }0{,}436).
  1. Em t=10:
\begin{aligned} S(10)&=-0{,}00003237\cdot10^{5}+0{,}0009037\cdot10^{4}-0{,}008956\cdot10^{3}\\\ &\quad+0{,}03629\cdot10^{2}-0{,}04458\cdot10+0{,}4074\\\ &\approx 0{,}4346. \end{aligned}

Passo 7

Comparação dos valores obtidos:
\begin{aligned} S(0{,}854)&\approx 0{,}3907,\\\ S(0)&=0{,}4074,\\\ S(4{,}595)&\approx 0{,}4360,\\\ S(10)&\approx 0{,}4346. \end{aligned}
Portanto o menor valor no intervalo [0,10] é em t\approx 0{,}854 (mínimo global aproximado) e o maior valor é em t\approx 4{,}595 (máximo global aproximado). Agora convertemos esses t em datas: t conta anos desde agosto de 1993.
  • t\approx 0{,}854 anos = 0{,}854\times 12\approx 10{,}25 meses depois de agosto de 1993 → aproximadamente junho de 1994.
  • t\approx 4{,}595 anos = 4 anos e 0{,}595\times 12\approx 7{,}14 meses → agosto de 1993 + 4 anos + 7 meses ≈ março de 1998.

Resposta

Mais barato: aproximadamente junho de 1994 ( t\approx 0{,}854 anos desde agosto de 1993), com S\approx 0{,}391.
Mais caro: aproximadamente março de 1998 ( t\approx 4{,}595 anos desde agosto de 1993), com S\approx 0{,}436.

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