An object with weight W is dragged along a horizontal plane by a force acting along a rope attached to the object. If the rope makes an angle \theta with the plane, then the magnitude of the force is
F=\frac{\mu W}{\mu \sin \theta+\cos \theta}
where \mu is a positive constant called the coefficient of friction and where 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 2. Show that F is minimized when \tan \theta=\mu.

Passo 1

O enunciado dá que um objeto de peso \,W, é arrastado por uma força ao longo de um plano horizontal, por uma corda que faz um ângulo \theta com o plano. A magnitude da força é
F(\theta)=\frac{\mu W}{\mu \sin\theta+\cos\theta},
onde \mu>0 é a constante de atrito e \,0\le\theta\le\pi/2.
A pergunta é: mostrar que F é minimizada quando \tan\theta=\mu.
Informações relevantes listadas:
  • \mu>0 e W>0 (constantes positivas);
  • domínio do ângulo: \theta\in[0,\pi/2];
  • fórmula de F(\theta) dada acima.

Passo 2

Observação útil (estratégia): como \mu W é uma constante positiva, minimizar F(\theta) é equivalente a maximizar o denominador
h(\theta)=\mu\sin\theta+\cos\theta,
porque F(\theta)=\dfrac{\mu W}{h(\theta)}. Vou então procurar o máximo de h(\theta) no intervalo [0,\pi/2]. Esta escolha evita cálculo com quociente e torna a conta mais direta.

Passo 3

Vamos estudar h(\theta)=\mu\sin\theta+\cos\theta. Primeiro calculamos a derivada de h em relação a \theta. Lembrete básico de derivadas (aulas rápidas):
  • A derivada de \sin\theta é \cos\theta.
  • A derivada de \cos\theta é -\sin\theta.
    Aplicando isso,
h'(\theta)=\mu\cos\theta - \sin\theta.

Passo 4

Para achar extremos críticos, resolvemos h'(\theta)=0. Assim:
\mu\cos\theta - \sin\theta = 0
\Rightarrow \mu\cos\theta = \sin\theta.
Dividindo ambos os lados por \cos\theta (válido porque \cos\theta\ge 0 em [0,\pi/2] e só seria zero em \theta=\pi/2, caso que pode ser verificado separadamente),
\mu = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta.
Portanto os pontos críticos satisfazem
\tan\theta=\mu.

Passo 5

Agora é preciso verificar que esse ponto crítico realmente dá máximo para h(\theta) (e, portanto, mínimo para F(\theta)). Calculamos a segunda derivada de h:
h''(\theta) = -\mu\sin\theta - \cos\theta = -\big(\mu\sin\theta+\cos\theta\big) = -h(\theta).

Passo 6

No ponto crítico onde \tan\theta=\mu, temos \sin\theta\ge0 e \cos\theta\ge0 (pois \theta\in[0,\pi/2]), logo
h(\theta)=\mu\sin\theta+\cos\theta>0.
Assim, em tal ponto crítico,
h''(\theta) = -h(\theta) < 0.
Uma segunda derivada negativa indica que h tem um máximo nesse ponto. Como maximizar h corresponde a minimizar F, concluímos que o ponto crítico encontrado realmente minimiza F.

Passo 7

Comentário final e intuição rápida: a condição \mu\cos\theta=\sin\theta ou \tan\theta=\mu vem da ideia física de equilibrar as contribuições vertical e horizontal do esforço para reduzir a força necessária contra o atrito. Matemática e fisicamente, esse ângulo torna o denominador \mu\sin\theta+\cos\theta o maior possível, dando o menor F.

Resposta

\tan\theta=\mu

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