An object with weight
is dragged along a horizontal plane by a force acting along a rope attached to the object. If the rope makes an angle
with the plane, then the magnitude of the force is
where
is a positive constant called the coefficient of friction and where
. Show that
is minimized when
.
Passo 1
O enunciado dá que um objeto de peso
, é arrastado por uma força ao longo de um plano horizontal, por uma corda que faz um ângulo
com o plano. A magnitude da força é
onde
é a constante de atrito e
.
A pergunta é: mostrar que é minimizada quando
.
Informações relevantes listadas:
A pergunta é: mostrar que
Informações relevantes listadas:
-
e (constantes positivas); - domínio do ângulo:
; - fórmula de
dada acima.
Passo 2
Observação útil (estratégia): como
é uma constante positiva, minimizar
é equivalente a maximizar o denominador
porque
. Vou então procurar o máximo de
no intervalo
. Esta escolha evita cálculo com quociente e torna a conta mais direta.
Passo 3
Vamos estudar
. Primeiro calculamos a derivada de
em relação a
. Lembrete básico de derivadas (aulas rápidas):
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Aplicando isso,
Passo 4
Para achar extremos críticos, resolvemos
. Assim:
Dividindo ambos os lados por
(válido porque
em
e só seria zero em
, caso que pode ser verificado separadamente),
Portanto os pontos críticos satisfazem
Passo 5
Agora é preciso verificar que esse ponto crítico realmente dá máximo para
(e, portanto, mínimo para
). Calculamos a segunda derivada de
:
Passo 6
No ponto crítico onde
, temos
e
(pois
), logo
Assim, em tal ponto crítico,
Uma segunda derivada negativa indica que
tem um máximo nesse ponto. Como maximizar
corresponde a minimizar
, concluímos que o ponto crítico encontrado realmente minimiza
.
Passo 7
Comentário final e intuição rápida: a condição
ou
vem da ideia física de equilibrar as contribuições vertical e horizontal do esforço para reduzir a força necessária contra o atrito. Matemática e fisicamente, esse ângulo torna o denominador
o maior possível, dando o menor
.