( 3,0 ) Determine a temperatura de regime permanente u(r, \theta) em um quadrante circular sabendo que a EDP que descreve o problema é:
\frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}=0
e as condições de contorno, para 0<r<1 e 0<\theta<\frac{\pi}{2}, são:
\begin{aligned} u(r, 0) & =0 \\\ u\left(r, \frac{\pi}{2}\right) & =0 \\\ u(1, \theta) & =u_{0} \end{aligned}
Lembre-se: As soluções da equação de \theta para os casos \lambda=0 e \lambda<0 são triviais.

Passo 1

O enunciado pede determinar a temperatura em regime permanente u(r,\theta) num quadrante circular, ou seja no domínio
0<r<1,\qquad 0<\theta<\frac{\pi}{2},
sujeita à equação de Laplace em coordenadas polares
\frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}=0,
com as condições de contorno
u(r,0)=0,\qquad u\Bigl(r,\frac{\pi}{2}\Bigr)=0,\qquad u(1,\theta)=u_{0},
onde u_{0} é constante dada. Nada mais é pedido além de achar u(r,\theta) que satisfaça a EDP e essas condições no quadrante.

Passo 2

Vamos tentar separar variáveis: suponha uma solução do tipo
u(r,\theta)=R(r)\,\Theta(\theta).
Substituindo na equação de Laplace e dividindo por R\Theta obtemos
\frac{R''(r)}{R(r)}+\frac{1}{r}\frac{R'(r)}{R(r)}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)}=0.
Multiplicando por r^{2} e rearranjando,
r^{2}\frac{R''(r)}{R(r)}+r\frac{R'(r)}{R(r)} = -\frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)}.
O lado esquerdo depende só de r e o direito só de \theta, logo ambos devem ser iguais a uma constante que chamamos -\lambda. Assim obtemos o sistema de equações ordinárias
\Theta''(\theta)+\lambda\,\Theta(\theta)=0
e
r^{2}R''(r)+rR'(r)-\lambda R(r)=0,
onde \lambda é a constante de separação.

Passo 3

Estudamos primeiro a equação angular
\Theta''+\lambda\Theta=0,
com as condições \Theta(0)=0 e \Theta\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0 (essas vêm de u(r,0)=0 e u(r,\pi/2)=0 e da forma separada u=R\Theta; para termos soluções não triviais queremos \Theta\not\equiv0).
  • Se \lambda=0 então \Theta''=0 e a solução geral é \Theta(\theta)=A+B\theta. Impor \Theta(0)=0 A=0; impor \Theta(\pi/2)=0 B=0. Logo só a solução trivial \Theta\equiv0. Portanto \lambda=0 não produz solução útil.
  • Se \lambda<0 escreva \lambda=-\mu^{2} com \mu>0. A equação fica \Theta''-\mu^{2}\Theta=0 e as soluções são exponenciais hiperbólicas que não conseguem satisfazer zero nas duas extremidades sem serem triviais. Portanto também rejeitamos \lambda<0.
  • Logo precisamos de \lambda>0. Escreva \lambda=\mu^{2} com \mu>0. A solução geral é
\Theta(\theta)=A\cos(\mu\theta)+B\sin(\mu\theta).
Impor \Theta(0)=0 A=0, então \Theta(\theta)=B\sin(\mu\theta). Impor \Theta\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0 exige
\sin\!\bigl(\mu\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad \mu\cdot\tfrac{\pi}{2}=m\pi,\; m\in\mathbb{Z}.
Para m\ge1 obtemos os autovalores
\mu=2m,\qquad \lambda=\mu^{2}=(2m)^{2}=4m^{2},\qquad m=1,2,3,\dots
Os autovalores correspondem às funções próprias (normalizadas por uma constante)
\Theta_{m}(\theta)=\sin(2m\theta).

Passo 4

Agora a equação radial para \lambda=4m^{2} é
r^{2}R''+rR'-4m^{2}R=0.
Esta é a equação de Euler (Cauchy–Euler) cuja solução geral é da forma
R(r)=C_{1}r^{2m}+C_{2}r^{-2m}.
No nosso domínio temos r chegando a 0 (o quadrante inclui a origem). Para que u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta) seja finita em r=0 precisamos eliminar o termo singular r^{-2m}. Assim tomamos C_{2}=0 e
R_{m}(r)=C_{1}r^{2m}.

Passo 5

Combinando as soluções em \theta e r obtemos os modos separados não triviais
u_{m}(r,\theta)=A_{m}\,r^{2m}\sin(2m\theta),
onde A_{m} é uma constante a determinar a partir da condição no contorno exterior r=1. A solução geral (soma dos modos) é a série
u(r,\theta)=\sum_{m=1}^{\infty}A_{m}\,r^{2m}\sin(2m\theta).
Agora devemos escolher os coeficientes A_{m} para que u(1,\theta)=u_{0} em 0<\theta<\tfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Impor r=1 dá a expansão de Fourier-seno
u(1,\theta)=u_{0}=\sum_{m=1}^{\infty}A_{m}\sin(2m\theta),\qquad 0<\theta<\tfrac{\pi}{2}.
Queremos achar A_{m}. Usamos a ortogonalidade das funções \sin(2m\theta) no intervalo \theta\in(0,\tfrac{\pi}{2}). A propriedade é
\int_{0}^{\pi/2}\sin(2m\theta)\sin(2n\theta)\,d\theta=0\quad\text{se }m\ne n,
e para m=n temos
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}(2m\theta)\,d\theta=\frac{\pi}{4}.
(Explicação rápida: \sin^{2}(k\theta)=\tfrac{1}{2}(1-\cos(2k\theta)). Integrando de 0 a \tfrac{\pi}{2} o termo \cos(2k\theta) dá zero e sobra \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{\pi}{4}.)
Multiplicando a igualdade u_{0}=\sum A_{m}\sin(2m\theta) por \sin(2n\theta) e integrando de 0 a \tfrac{\pi}{2} obtemos
\int_{0}^{\pi/2}u_{0}\sin(2n\theta)\,d\theta = A_{n}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}(2n\theta)\,d\theta = A_{n}\cdot\frac{\pi}{4}.
Portanto
A_{n}=\frac{4}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}u_{0}\sin(2n\theta)\,d\theta = \frac{4u_{0}}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\sin(2n\theta)\,d\theta.

Passo 7

Calculemos a integral
\int_{0}^{\pi/2}\sin(2n\theta)\,d\theta = \left[-\frac{\cos(2n\theta)}{2n}\right]_{0}^{\pi/2} = -\frac{\cos(n\pi)-\cos 0}{2n} = \frac{1-(-1)^{n}}{2n}.
Observe que se [n) é par então (-1)^{n}=1 e a integral vale 0; se n é ímpar então (-1)^{n}=-1 e a integral vale 1/n.
Substituindo em A_{n} obtemos
A_{n}=\frac{4u_{0}}{\pi}\cdot\frac{1-(-1)^{n}}{2n}=\frac{2u_{0}}{\pi}\cdot\frac{1-(-1)^{n}}{n}.
Portanto A_{n}=0 para n par, e para n ímpar ( n=2k+1) temos
A_{2k+1}=\frac{2u_{0}}{\pi}\cdot\frac{2}{2k+1}=\frac{4u_{0}}{\pi(2k+1)}.
Reescrevendo com o índice n (apenas ímpares aparecem),
A_{n}=\begin{cases}\dfrac{4u_{0}}{\pi n}, & n\text{ ímpar},\\[6pt]0,& n\text{ par}.\end{cases}í
(Observação: antes, na dedução rápida, obtivemos fator 8/\pi\] ao aplicar fórmula com outro normalização; aqui fizemos passo a passo e chegamos a \(4/\pi vezes integral que trouxe 1/n para n ímpar, resultando em 4/(\pi n). Ambos os caminhos coincidem quando se faz a contagem correta do fator; o resultado correto a partir da ortogonalidade padrão é A_{n}=\dfrac{4u_{0}}{\pi n} para n ímpar. Mantemos este valor.)]

Passo 8

Substituindo A_{n} na série geral obtemos a solução final. Como apenas índices ímpares sobrevivem, escrevemos a soma sobre k=0,1,2,\dots com n=2k+1:
u(r,\theta)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4u_{0}}{\pi(2k+1)}\,r^{2(2k+1)}\sin\!\bigl(2(2k+1)\theta\bigr).
Esta série é a solução harmônica no quadrante que satisfaz as condições de contorno dadas, é finita em r=0 (pois tem apenas potências positivas de r) e em r=1 u(1,\theta)=u_{0} pela expansão em série.

Resposta

u(r,\theta)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4u_{0}}{\pi(2k+1)}\,r^{4k+2}\sin\!\bigl((4k+2)\theta\bigr).

Exercícios relacionados