O lado esquerdo depende só de r e o direito só de \theta, logo ambos devem ser iguais a uma constante que chamamos -\lambda. Assim obtemos o sistema de equações ordinárias
\Theta''(\theta)+\lambda\,\Theta(\theta)=0
e
r^{2}R''(r)+rR'(r)-\lambda R(r)=0,
onde \lambda é a constante de separação.
Passo 3
Estudamos primeiro a equação angular
\Theta''+\lambda\Theta=0,
com as condições \Theta(0)=0 e \Theta\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0 (essas vêm de u(r,0)=0 e u(r,\pi/2)=0 e da forma separada u=R\Theta; para termos soluções não triviais queremos \Theta\not\equiv0).
Se \lambda=0 então \Theta''=0 e a solução geral é \Theta(\theta)=A+B\theta. Impor \Theta(0)=0 dá A=0; impor \Theta(\pi/2)=0 dá B=0. Logo só a solução trivial \Theta\equiv0. Portanto \lambda=0 não produz solução útil.
Se \lambda<0 escreva \lambda=-\mu^{2} com \mu>0. A equação fica \Theta''-\mu^{2}\Theta=0 e as soluções são exponenciais hiperbólicas que não conseguem satisfazer zero nas duas extremidades sem serem triviais. Portanto também rejeitamos \lambda<0.
Logo precisamos de \lambda>0. Escreva \lambda=\mu^{2} com \mu>0. A solução geral é
\Theta(\theta)=A\cos(\mu\theta)+B\sin(\mu\theta).
Impor \Theta(0)=0 dá A=0, então \Theta(\theta)=B\sin(\mu\theta). Impor \Theta\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0 exige
Os autovalores correspondem às funções próprias (normalizadas por uma constante)
\Theta_{m}(\theta)=\sin(2m\theta).
Passo 4
Agora a equação radial para \lambda=4m^{2} é
r^{2}R''+rR'-4m^{2}R=0.
Esta é a equação de Euler (Cauchy–Euler) cuja solução geral é da forma
R(r)=C_{1}r^{2m}+C_{2}r^{-2m}.
No nosso domínio temos r chegando a 0 (o quadrante inclui a origem). Para que u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta) seja finita em r=0 precisamos eliminar o termo singular r^{-2m}. Assim tomamos C_{2}=0 e
R_{m}(r)=C_{1}r^{2m}.
Passo 5
Combinando as soluções em \theta e r obtemos os modos separados não triviais
u_{m}(r,\theta)=A_{m}\,r^{2m}\sin(2m\theta),
onde A_{m} é uma constante a determinar a partir da condição no contorno exterior r=1. A solução geral (soma dos modos) é a série
(Explicação rápida: \sin^{2}(k\theta)=\tfrac{1}{2}(1-\cos(2k\theta)). Integrando de 0 a \tfrac{\pi}{2} o termo \cos(2k\theta) dá zero e sobra \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{\pi}{4}.)
Multiplicando a igualdade u_{0}=\sum A_{m}\sin(2m\theta) por \sin(2n\theta) e integrando de 0 a \tfrac{\pi}{2} obtemos
(Observação: antes, na dedução rápida, obtivemos fator 8/\pi\] ao aplicar fórmula com outro normalização; aqui fizemos passo a passo e chegamos a \(4/\pi vezes integral que trouxe 1/n para n ímpar, resultando em 4/(\pi n). Ambos os caminhos coincidem quando se faz a contagem correta do fator; o resultado correto a partir da ortogonalidade padrão é A_{n}=\dfrac{4u_{0}}{\pi n} para n ímpar. Mantemos este valor.)]
Passo 8
Substituindo A_{n} na série geral obtemos a solução final. Como apenas índices ímpares sobrevivem, escrevemos a soma sobre k=0,1,2,\dots com n=2k+1:
Esta série é a solução harmônica no quadrante que satisfaz as condições de contorno dadas, é finita em r=0 (pois tem apenas potências positivas de r) e em r=1 dá u(1,\theta)=u_{0} pela expansão em série.