(Funções nulas na origem) Em sistemas de controle, algumas funções de entrada devem ser nulas na origem. Considere o conjunto das funções reais:
F=f: R R mid f(0)=0
Esse conjunto pode ser considerado um espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado define
F = ,f:RtoRmid f(0)=0
e pergunta se F é um espaço vetorial sobre R. Para isso, vamos lembrar que um subconjunto de um espaço vetorial (aqui o espaço de todas as funções RtoR) é subespaço vetorial se e somente se:
  1. É não-vazio (ou seja, contém a função zero).
  2. É fechado sob soma de funções.
  3. É fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que F não é vazio exibindo a função zero
f0(x) = 0,forall xinR
Como f0(0)=0, temos f0in F.

Passo 3

Verificamos o fechamento em relação à soma. Se fin F e gin F, então
(f+g)(0) = f(0) + g(0) = 0 + 0 = 0,
logo f+gin F.

Passo 4

Verificamos o fechamento em relação à multiplicação escalar. Se fin F e alphainR, então
(alpha f)(0) = alpha cdot f(0) = alpha cdot 0 = 0,
logo alpha fin F.

Passo 5

Como já temos a função zero em F e F é fechado sob soma e multiplicação escalar, segue que F é um subespaço vetorial do espaço de todas as funções de R em R.

Resposta

Sim. F é um espaço vetorial sobre R.

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