(Funções nulas na origem) Em sistemas de controle, algumas funções de entrada devem ser nulas na origem. Considere o conjunto das funções reais:
Esse conjunto pode ser considerado um espaço vetorial?
Passo 1
O enunciado define
e pergunta se
é um espaço vetorial sobre
. Para isso, vamos lembrar que um subconjunto de um espaço vetorial (aqui o espaço de todas as funções
) é subespaço vetorial se e somente se:
- É não-vazio (ou seja, contém a função zero).
- É fechado sob soma de funções.
- É fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que
não é vazio exibindo a função zero
Como
, temos
.
Passo 3
Verificamos o fechamento em relação à soma. Se
e
, então
logo
.
Passo 4
Verificamos o fechamento em relação à multiplicação escalar. Se
e
, então
logo
.
Passo 5
Como já temos a função zero em
e
é fechado sob soma e multiplicação escalar, segue que
é um subespaço vetorial do espaço de todas as funções de
em
.
Resposta
Sim.
é um espaço vetorial sobre
.