6. Modelagem Gráfica com Base Inclinada

Você deseja modelar uma superfície 2D com uma base inclinada para representar melhor a inclinação do terreno. Defina a base B=(1,2),(-1,1).
Questão: Se um vetor na base canônica é v=(3,5), encontre suas coordenadas na nova base B e explique como isso influencia a modelagem no motor gráfico.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as coordenadas de v=(3,5) na base inclinada
B=(1,2),(-1,1). O conteúdo de Álgebra Linear envolvido aqui é mudança de base, que nos permite expressar um vetor de um sistema de referência (base canônica) em outro (base B).

Passo 2

Para achar as coordenadas (a,b) de v em B, escrevemos v como combinação linear dos vetores da base:
a1 2 + b-1 1 = 3 5
Esse passo monta o sistema de equações que, quando resolvido, dá (a,b).

Passo 3

A igualdade acima gera o sistema
a - b = 3, 2a + b = 5
Isolando b em a - b = 3 temos b = a - 3. Substituindo em 2a + b = 5 resulta em
2a + (a - 3) = 5 Longrightarrow 3a - 3 = 5 Longrightarrow 3a = 8 Longrightarrow a = tfrac83
Em seguida,
b = tfrac83 - 3 = -tfrac13

Passo 4

Logo, as coordenadas de v na base B são
l(a,br) = l(tfrac83, -tfrac13r)

Passo 5

No contexto de um motor gráfico, usar uma base inclinada significa construir a matriz de mudança de base cujas colunas são l(1,2r) e l(-1,1r). Para converter de coordenadas locais (na base B) para coordenadas do mundo, o motor multiplica pelas colunas dessa matriz; para o caminho inverso usa a matriz inversa. Assim, ao trabalhar diretamente nessas coordenadas inclinadas, operações como translação, rotação e cálculo de normais ficam naturalmente alinhadas ao terreno, simplificando a lógica de posicionamento e iluminação.

Resposta

As coordenadas de v=(3,5) na base B são l(tfrac83, -tfrac13r), o que facilita a modelagem gráfica ao alinhar diretamente transformações e cálculos ao plano inclinado.

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