Para o modelo abaixo e considerando as informações disponíveis, determine:
O limite mínimo para a variância dos estimadores não tendencioso do parâmetro lambda do modelo.
l f(x)=1theta x raiz2 pi exp -12(ln (x)-lambdatheta)^2 Onde: E[ln (x)]=lambda Var[ln (x)]=theta^2 E[X]=exp [lambda-12 theta^2] E[X-E(X)]^2=[e^theta-1] cdot E^2[X]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre encontrar o limite mínimo para a variância dos estimadores não tendenciosos do parâmetro lambda em um determinado modelo. Esse tipo de questão está relacionado ao Teorema de Cramér-Rao, que nos dá um limite inferior para a variância de qualquer estimador não tendencioso de um parâmetro. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de verossimilhança e informação de Fisher.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a distribuição que estamos lidando. A função de densidade que você forneceu é:
f(x)=1theta x raiz2 pi exp -12(ln (x)-lambdatheta)^2
Essa é a distribuição log-normal, onde ln(X) segue uma distribuição normal com média lambda e variância theta^2. Ou seja, se Y = ln(X), então Y sim N(lambda, theta^2).

Passo 3

Para encontrar o limite mínimo da variância dos estimadores não tendenciosos de lambda, vamos usar o Teorema de Cramér-Rao. Esse teorema nos diz que para qualquer estimador não tendencioso lambda, a variância dele satisfaz:
Var(lambda) >= 1I(lambda)
Onde I(lambda) é a informação de Fisher sobre o parâmetro lambda. Nossa tarefa agora é calcular essa informação de Fisher.

Passo 4

A informação de Fisher I(lambda) é definida como a variância da derivada do logaritmo da função de verossimilhança em relação a lambda, ou seja:
I(lambda) = Var(partialpartial lambda ln f(X))
Vamos calcular ln f(X):
ln f(X) = -ln(theta) - ln(X) - 12 ln(2pi) - 12(ln(X) - lambdatheta)^2
Agora, derivamos em relação a lambda:
partialpartial lambda ln f(X) = ln(X) - lambdatheta^2
Então, a informação de Fisher é:
I(lambda) = Var(ln(X) - lambdatheta^2) = 1theta^4 cdot Var(ln(X))
Como Var(ln(X)) = theta^2, temos:
I(lambda) = 1theta^4 cdot theta^2 = 1theta^2

Passo 5

Agora que temos a informação de Fisher, podemos aplicar o Teorema de Cramér-Rao:
Var(lambda) >= 1I(lambda) = theta^2
Isso significa que o limite mínimo para a variância de qualquer estimador não tendencioso de lambda é igual a theta^2.

Resposta

O limite mínimo para a variância dos estimadores não tendenciosos do parâmetro lambda é theta^2.

Exercícios relacionados