Para o modelo abaixo e considerando as informações disponíveis, determine:
O limite mínimo para a variância dos estimadores não tendencioso do parâmetro
do modelo.
O limite mínimo para a variância dos estimadores não tendencioso do parâmetro
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre encontrar o limite mínimo para a variância dos estimadores não tendenciosos do parâmetro
em um determinado modelo. Esse tipo de questão está relacionado ao Teorema de Cramér-Rao, que nos dá um limite inferior para a variância de qualquer estimador não tendencioso de um parâmetro. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de verossimilhança e informação de Fisher.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a distribuição que estamos lidando. A função de densidade que você forneceu é:
Essa é a distribuição log-normal, onde
segue uma distribuição normal com média
e variância
. Ou seja, se
, então
.
Passo 3
Para encontrar o limite mínimo da variância dos estimadores não tendenciosos de
, vamos usar o Teorema de Cramér-Rao. Esse teorema nos diz que para qualquer estimador não tendencioso
, a variância dele satisfaz:
Onde
é a informação de Fisher sobre o parâmetro
. Nossa tarefa agora é calcular essa informação de Fisher.
Passo 4
A informação de Fisher
é definida como a variância da derivada do logaritmo da função de verossimilhança em relação a
, ou seja:
Vamos calcular
:
Agora, derivamos em relação a
:
Então, a informação de Fisher é:
Como
, temos:
Passo 5
Agora que temos a informação de Fisher, podemos aplicar o Teorema de Cramér-Rao:
Isso significa que o limite mínimo para a variância de qualquer estimador não tendencioso de
é igual a
.
Resposta
O limite mínimo para a variância dos estimadores não tendenciosos do parâmetro
é
.