Um modelo alternativo para o crescimento de volume do tumor como função do tempo é dado pela seguinte EDO
d Vd t=a[ln b-(ln V)^2] V
onde a e b são constantes. Considere V(0)=1 e mostre que
ln V(t)=raizln b e^2 raizln b a t-1e^2 raizln b a t+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou trata de uma equação diferencial ordinária (EDO) que modela o crescimento do volume de um tumor ao longo do tempo. A equação é:
d Vd t=a[ln b-(ln V)^2] V
Aqui, $ a $ e $ b $ são constantes, e temos a condição inicial $ V(0) = 1 $. Nosso objetivo é mostrar que a solução dessa equação é:
a
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de EDOs, especificamente a separação de variáveis e integração. Vamos seguir passo a passo para entender cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
d Vd t=a[ln b - (ln V)^2] V
Podemos dividir ambos os lados por $ V $ para isolar $ \frac{d V}{d t} $ em termos de $ \ln V $:
V
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integração. Vamos definir:
d Vd t

Passo 3

Com $ u = \ln V $, precisamos encontrar $ \frac{d u}{d t} $. Diferenciando ambos os lados em relação a $ t $:
u = ln V
Observando a equação que obtivemos anteriormente:
d ud t
Portanto, podemos escrever:
t
Essa é uma equação diferencial separável que podemos resolver para encontrar $ u(t) $, e depois $ V(t) $.

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis $ u $ e $ t $. Rearranjando os termos:
u
Para integrar o lado esquerdo, precisamos lidar com a integral de $ \frac{1}{\ln b - u^2} , du $. Isso se parece com a forma da integral de uma função racional que pode ser resolvida usando frações parciais ou substituição trigonométrica, dependendo do sinal de $ \ln b - u^2 $.
Assumindo que $ \ln b > 0 $, podemos reescrever a integral como:
t
Isso se ajusta à forma padrão para integrais de funções tipo $ \frac{1}{a^2 - u^2} $, cuja antiderivada é conhecida.

Passo 5

Usando a fórmula de integração para $ \int \frac{1}{a^2 - u^2} , du = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a + u}{a - u} \right| + C $, onde $ a = \sqrt{\ln b} $, temos:
integral 1a^2 - u^2 , du = 12a ln | a + ua - u | + C
Portanto, a equação integrada fica:
a = raizln b

Passo 6

Vamos resolver para $ u $. Multiplicando ambos os lados por $ 2 \sqrt{\ln b} $:
u
Onde $ C’ = 2 \sqrt{\ln b} C $. Vamos simplificar a expressão exponente usando uma constante, já que $ C’ $ é uma constante de integração:
2 raizln b

Passo 7

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
raizln b + uraizln b - u = e^2 a raizln b t + C'
Podemos escrever $ e^{C’} $ como outra constante, digamos $ K $:
e^C'
Agora, vamos resolver para $ u $:
K
Distribuindo $ K e^{2 a \sqrt{\ln b} t} $:
raizln b + uraizln b - u = K e^2 a raizln b t

Passo 8

Vamos isolar os termos com $ u $:
u
Fatorando $ u $ do lado esquerdo:
u + K e^2 a raizln b t u = K raizln b e^2 a raizln b t - raizln b
Agora, resolvendo para $ u $:
u

Passo 9

Lembrando que $ u = \ln V $, temos:
u = ln V
Agora, precisamos determinar a constante $ K $ usando a condição inicial $ V(0) = 1 $. Sabemos que $ \ln V(0) = \ln 1 = 0 $. Substituindo $ t = 0 $ na equação:
ln V = K raizln b e^2 a raizln b t - raizln b1 + K e^2 a raizln b t
Multiplicando ambos os lados por $ 1 + K $:
K
Resolvendo para $ K $:
V(0) = 1

Passo 10

Substituindo $ K = 1 $ na expressão para $ \ln V $:
K = 1
Isso confirma a solução dada no enunciado.

Resposta

ln V(t)=raizln b e^2 raizln b a t-1e^2 raizln b a t+1

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