Um modelo alternativo para o crescimento de volume do tumor como função do tempo é dado pela seguinte EDO
onde
e
são constantes. Considere
e mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou trata de uma equação diferencial ordinária (EDO) que modela o crescimento do volume de um tumor ao longo do tempo. A equação é:
Aqui, $ a $ e $ b $ são constantes, e temos a condição inicial $ V(0) = 1 $. Nosso objetivo é mostrar que a solução dessa equação é:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de EDOs, especificamente a separação de variáveis e integração. Vamos seguir passo a passo para entender cada parte.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
Podemos dividir ambos os lados por $ V $ para isolar $ \frac{d V}{d t} $ em termos de $ \ln V $:
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integração. Vamos definir:
Passo 3
Com $ u = \ln V $, precisamos encontrar $ \frac{d u}{d t} $. Diferenciando ambos os lados em relação a $ t $:
Observando a equação que obtivemos anteriormente:
Portanto, podemos escrever:
Essa é uma equação diferencial separável que podemos resolver para encontrar $ u(t) $, e depois $ V(t) $.
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis $ u $ e $ t $. Rearranjando os termos:
Para integrar o lado esquerdo, precisamos lidar com a integral de $ \frac{1}{\ln b - u^2} , du $. Isso se parece com a forma da integral de uma função racional que pode ser resolvida usando frações parciais ou substituição trigonométrica, dependendo do sinal de $ \ln b - u^2 $.
Assumindo que $ \ln b > 0 $, podemos reescrever a integral como:
Isso se ajusta à forma padrão para integrais de funções tipo $ \frac{1}{a^2 - u^2} $, cuja antiderivada é conhecida.
Passo 5
Usando a fórmula de integração para $ \int \frac{1}{a^2 - u^2} , du = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a + u}{a - u} \right| + C $, onde $ a = \sqrt{\ln b} $, temos:
Portanto, a equação integrada fica:
Passo 6
Vamos resolver para $ u $. Multiplicando ambos os lados por $ 2 \sqrt{\ln b} $:
Onde $ C’ = 2 \sqrt{\ln b} C $. Vamos simplificar a expressão exponente usando uma constante, já que $ C’ $ é uma constante de integração:
Passo 7
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos escrever $ e^{C’} $ como outra constante, digamos $ K $:
Agora, vamos resolver para $ u $:
Distribuindo $ K e^{2 a \sqrt{\ln b} t} $:
Passo 8
Vamos isolar os termos com $ u $:
Fatorando $ u $ do lado esquerdo:
Agora, resolvendo para $ u $:
Passo 9
Lembrando que $ u = \ln V $, temos:
Agora, precisamos determinar a constante $ K $ usando a condição inicial $ V(0) = 1 $. Sabemos que $ \ln V(0) = \ln 1 = 0 $. Substituindo $ t = 0 $ na equação:
Multiplicando ambos os lados por $ 1 + K $:
Resolvendo para $ K $:
Passo 10
Substituindo $ K = 1 $ na expressão para $ \ln V $:
Isso confirma a solução dada no enunciado.