Use o Teorema de Stokes para calcular
, onde
é a curva obtida como intersecção da esfera
com o plano
.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- O campo vetorial
. - A curva
é a interseção da esfera com o plano . - Pede-se calcular
(a integral de linha de circulação ao longo de ).
Passo 2
Escolha do método e enunciado do teorema que vamos usar (explicado devagar, tipo bate-papo):
- Vou aplicar o Teorema de Stokes porque ele transforma uma integral de linha fechada numa integral de superfície do rotacional, o que costuma simplificar quando o rotacional é simples (aqui vai ser constante).
- O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície orientada
com bordo ,
onde
é o versor normal escolhida compatível com a orientação de
(regra da mão direita).
- Vou tomar
como o disco plano dentro do plano delimitado por . Esse disco existe porque a interseção de um plano com uma esfera é um círculo (assumindo ), e isso facilita muito o cálculo da integral de superfície.
Passo 3
Calcular o rotacional
. Para
com
,
,
, o rotacional é
Agora cada derivada:
Portanto
Observação amiga: o rotacional é constante, o que é ótimo — deixa a integral de superfície bem simples.
Passo 4
Normal ao plano e versor normal unitário.
- O plano tem equação
, que pode ser escrito como . Logo um vetor normal (não normalizado) é . - O versor normal unitário é
(A escolha do sinal de
controla a orientação de
; vou usar este
. Se quisesse a orientação oposta de
, bastaria trocar o sinal.)
Passo 5
Raio do círculo de interseção e área do disco
.
- Distância do centro da esfera
ao plano é dada por fórmula distância ponto-plano:
- O raio
do círculo de interseção (teorema de Pitágoras no corte) é
- A área do disco
é
Passo 6
Calcular o produto interno
.
Passo 7
Avaliar a integral de superfície usando que o integrando é constante:
Pelo Teorema de Stokes esta expressão é igual a
, com a orientação de
compatível com o versor
. (Se a orientação de
fosse a oposta, o resultado trocaria de sinal.)