Use o Teorema de Stokes para calcular \oint_{C}(3 y+z, x+4 y, 2 x+y) d \sigma, onde C é a curva obtida como intersecção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} com o plano y+z=a.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O campo vetorial \mathbf{F}=(3y+z,\;x+4y,\;2x+y).
  • A curva C é a interseção da esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}\; com o plano \;y+z=a.
  • Pede-se calcular \displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} (a integral de linha de circulação ao longo de C).

Passo 2

Escolha do método e enunciado do teorema que vamos usar (explicado devagar, tipo bate-papo):
  • Vou aplicar o Teorema de Stokes porque ele transforma uma integral de linha fechada numa integral de superfície do rotacional, o que costuma simplificar quando o rotacional é simples (aqui vai ser constante).
  • O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície orientada S com bordo \partial S=C,
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{\hat n}\,dS,
onde \mathbf{\hat n} é o versor normal escolhida compatível com a orientação de C (regra da mão direita).
  • Vou tomar S como o disco plano dentro do plano \;y+z=a\; delimitado por C. Esse disco existe porque a interseção de um plano com uma esfera é um círculo (assumindo a>0), e isso facilita muito o cálculo da integral de superfície.

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\mathbf{F}. Para \mathbf{F}=(P,Q,R) com P=3y+z, Q=x+4y, R=2x+y, o rotacional é
\nabla\times\mathbf{F}=\left(\dfrac{\partial R}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial z},\; \dfrac{\partial P}{\partial z}-\dfrac{\partial R}{\partial x},\; \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right).
Agora cada derivada:
\dfrac{\partial R}{\partial y}=\dfrac{\partial(2x+y)}{\partial y}=1,\qquad \dfrac{\partial Q}{\partial z}=\dfrac{\partial(x+4y)}{\partial z}=0,
\dfrac{\partial P}{\partial z}=\dfrac{\partial(3y+z)}{\partial z}=1,\qquad \dfrac{\partial R}{\partial x}=\dfrac{\partial(2x+y)}{\partial x}=2,
\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial(x+4y)}{\partial x}=1,\qquad \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial(3y+z)}{\partial y}=3.
Portanto
\nabla\times\mathbf{F}=(1-0,\;1-2,\;1-3)=(1,\,-1,\,-2).
Observação amiga: o rotacional é constante, o que é ótimo — deixa a integral de superfície bem simples.

Passo 4

Normal ao plano e versor normal unitário.
  • O plano tem equação \;y+z=a, que pode ser escrito como (0,1,1)\cdot(x,y,z)=a. Logo um vetor normal (não normalizado) é \mathbf{n}_{0}=(0,1,1).
  • O versor normal unitário é
\mathbf{\hat n}=\dfrac{\mathbf{n}_{0}}{\|\mathbf{n}_{0}\|}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(0,1,1).
(A escolha do sinal de \mathbf{\hat n} controla a orientação de C; vou usar este \mathbf{\hat n}. Se quisesse a orientação oposta de C, bastaria trocar o sinal.)

Passo 5

Raio do círculo de interseção e área do disco S.
  • Distância do centro da esfera (0,0,0) ao plano \;y+z=a é dada por fórmula distância ponto-plano:
d=\dfrac{|0+ a|}{\sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\dfrac{|a|}{\sqrt{2}}.
  • O raio r do círculo de interseção (teorema de Pitágoras no corte) é
r=\sqrt{a^{2}-d^{2}}=\sqrt{a^{2}-\dfrac{a^{2}}{2}}=\sqrt{\dfrac{a^{2}}{2}}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}.
  • A área do disco S é
\operatorname{Area}(S)=\pi r^{2}=\pi\left(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\dfrac{\pi a^{2}}{2}.

Passo 6

Calcular o produto interno (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{\hat n}.
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{\hat n}=(1,\,-1,\,-2)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}(0,1,1) =\dfrac{1}{\sqrt{2}}\big(0-1-2\big)=\dfrac{-3}{\sqrt{2}}.

Passo 7

Avaliar a integral de superfície usando que o integrando é constante:
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{\hat n}\,dS =\big((\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{\hat n}\big)\cdot\operatorname{Area}(S) =\dfrac{-3}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\pi a^{2}}{2} =-\dfrac{3\pi a^{2}}{2\sqrt{2}}.
Pelo Teorema de Stokes esta expressão é igual a \displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}, com a orientação de C compatível com o versor \mathbf{\hat n}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(0,1,1). (Se a orientação de C fosse a oposta, o resultado trocaria de sinal.)

Resposta

-\dfrac{3\pi a^{2}}{2\sqrt{2}}

Exercícios relacionados