Um modelo para a área da superfície de um corpo humano é dado pela função:
S=f(w, h)=0,0072 w^{0,425} h^{0,725}
onde w é o peso (em quilogramas), h é a altura (em centímetros) e S é medido em polegadas quadradas. Calcule as derivadas parciais:
\quad \frac{\partial S}{\partial h}(73,178)

Passo 1

O enunciado dá a função
S=f(w,h)=0,0072\,w^{0,425}h^{0,725},
onde w é o peso em quilogramas, h é a altura em centímetros e S está em polegadas quadradas.
Pede-se a derivada parcial de S em relação a h no ponto (w,h)=(73,178), ou seja calcular
\frac{\partial S}{\partial h}(73,178).

Passo 2

O que é a derivada parcial \displaystyle\frac{\partial S}{\partial h}?
Quando temos uma função de duas variáveis S(w,h), a derivada parcial em relação a h mede como S varia quando só alteramos h e mantemos w fixo. Na prática, ao derivar em relação a h tratamos w como uma constante.
A regra que vamos usar é a regra da potência: se g(h)=h^{a} com a constante, então
g'(h)=a\,h^{a-1}.
Aqui a pode ser número real; a fórmula continua válida.

Passo 3

Aplicando a ideia anterior à função dada, derivamos S em relação a h, tratando w como constante:
\frac{\partial S}{\partial h} =0,0072\;w^{0,425}\cdot\frac{d}{dh}\big(h^{0,725}\big) =0,0072\;w^{0,425}\cdot 0,725\,h^{0,725-1}.
Simplificando o expoente e o coeficiente,
\frac{\partial S}{\partial h}=0,0072\cdot 0,725\;w^{0,425}h^{-0,275}.
Multiplicando os números 0,0072 e 0,725:
0,0072\cdot 0,725=0,00522.
Logo a fórmula conveniente é
\frac{\partial S}{\partial h}=0,00522\;w^{0,425}h^{-0,275}.

Passo 4

Agora substituímos o ponto (w,h)=(73,178):
\frac{\partial S}{\partial h}(73,178)=0,00522\cdot 73^{0,425}\cdot 178^{-0,275}.
Para calcular potências com expoentes não inteiros usamos a identidade
a^{b}=e^{b\ln a}.
Calculamos separadamente 73^{0,425} e 178^{-0,275}:
  1. 73^{0,425}=e^{0,425\ln 73}. Usando aproximações de \ln:
    \ln 73\approx 4,290459.
    Multiplicando: 0,425\cdot 4,290459\approx 1,823445.
    Portanto 73^{0,425}\approx e^{1,823445}\approx 6,195 (arredondando).
  2. 178^{-0,275}=e^{-0,275\ln 178}. Usando \ln 178\approx 5,181783.
    Multiplicando: 0,275\cdot 5,181783\approx 1,424990.
    Logo 178^{-0,275}\approx e^{-1,424990}\approx 0,2404.
Multiplicando esses valores:
73^{0,425}\cdot 178^{-0,275}\approx 6,195\cdot 0,2404\approx 1,4893.
Finalmente multiplicamos pelo coeficiente 0,00522:
\frac{\partial S}{\partial h}(73,178)\approx 0,00522\cdot 1,4893\approx 0,007774.
Obs.: os valores acima são aproximações numéricas (arredondadas). A expressão exata em termos de potências é
0,00522\cdot 73^{0,425}\cdot 178^{-0,275}.

Passo 5

Interpretação e unidades: como S está em polegadas quadradas e h em centímetros, a derivada parcial tem unidade polegadas quadradas por centímetro. O valor positivo significa que, mantendo o peso w fixo, aumentar h aumenta a área de superfície S, mas de forma relativamente pequena (cerca de 0,00777 polegadas quadradas por centímetro no ponto dado).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial S}{\partial h}(73,178)\approx 0,00777\\ \text{polegadas}^2/\text{cm}

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