Um modelo para a área da superfície de um corpo humano é dado pela função:
onde
é o peso (em quilogramas),
é a altura (em centímetros) e
é medido em polegadas quadradas. Calcule as derivadas parciais:
Passo 1
O enunciado dá a função
onde
é o peso em quilogramas,
é a altura em centímetros e
está em polegadas quadradas.
Pede-se a derivada parcial de em relação a
no ponto
, ou seja calcular
Pede-se a derivada parcial de
Passo 2
O que é a derivada parcial
?
Quando temos uma função de duas variáveis , a derivada parcial em relação a
mede como
varia quando só alteramos
e mantemos
fixo. Na prática, ao derivar em relação a
tratamos
como uma constante.
Quando temos uma função de duas variáveis
A regra que vamos usar é a regra da potência: se
com
constante, então
Aqui
pode ser número real; a fórmula continua válida.
Passo 3
Aplicando a ideia anterior à função dada, derivamos
em relação a
, tratando
como constante:
Simplificando o expoente e o coeficiente,
Multiplicando os números
e
:
Logo a fórmula conveniente é
Passo 4
Agora substituímos o ponto
:
Para calcular potências com expoentes não inteiros usamos a identidade
Calculamos separadamente
e
:
-
. Usando aproximações de :
.
Multiplicando:.
Portanto(arredondando). -
. Usando .
Multiplicando:.
Logo.
Multiplicando esses valores:
Finalmente multiplicamos pelo coeficiente
:
Obs.: os valores acima são aproximações numéricas (arredondadas). A expressão exata em termos de potências é
Passo 5
Interpretação e unidades: como
está em polegadas quadradas e
em centímetros, a derivada parcial tem unidade polegadas quadradas por centímetro. O valor positivo significa que, mantendo o peso
fixo, aumentar
aumenta a área de superfície
, mas de forma relativamente pequena (cerca de
polegadas quadradas por centímetro no ponto dado).